INTÉGRATION PAR LES FONCTIONS ELLIPTIQUES

(46'), ((ja) et (63). En effet, en tirant z de {k) et utilisant (y),

on a

Remarque, — Nous avons posé a:^= - et non -> parce que la

fonction pa dépend de deux constantes arbitraires, tandis que Téquation (V) n'en contenait qu'une; la quantité X ainsi introduite s'appelle le multiplicateur des fonctions elliptiques.

Des diverses espèces d'intégrales elliptiques. — On démontre dans les Cours d'Analyse que toutes les intégrales elliptiques peuvent s'exprimer au moyen de trois seulement, X étant un polynôme du quatrième degré,

x^ dx

dx

{x — a) yf\

qu'on appelle intégrale elliptique de première espèce, qu'on appelle intégrale elliptique de deuxième espèce, qu'on appelle intégrale elliptique de troisième espèce.

Cette classification a beaucoup perdu de son intérêt, d'après ce qui précède, puisque nous savons toujours introduire la fonction pu Qi par suite ramener à des quadratures portant sur des fonctions elliptiques; elle nous sera cependant commode comme langage, "et nous la conserverons.

Des intégrales complètes de Legendre. — Nous avons déjà rencontré (68) une des intégrales que Legendre a appelées intégrales complètes, et nous avons pu prévoir son importance, puisqu'elle est le quart d'une des périodes de snu\ c'est V intégrale complète de première espèce

Jr* dx

Legendre pose

j? = sinçp,

k = sinO,

et la formulé précédente devient

»/o v^i — siii*6sin'©

En même temps que l'intégrale complète précédente, nous avons rencontré l'intégrale complète relative au module complémentaire A*'

On sait que 4K et 21K' sont les périodes de snw. Legendre a construit des Tables de l'intégrale complète de première espèce pour toutes les valeurs de 9 de degré en degré.

Les intégrales complètes de seconde espèce sont définies par les formules

^ dxy/i^k^x-^

E = I acp y^i — A:* sin*o = / —

E'= /''d?/r:Tïl[^= f'±^

Legendre a également construit les Tables de ces fonctions. Nous donnons un abrégé de ces deux Tables à la fin du Volume.

Nous verrons dans le Chapitre suivant comment ces nouvelles quantités se rattachent à 'r\^ et à Yja et comment il en résulte une importante relation entre K, K', E, E'. Je me bornerai à donner ici cette relation, en laissant la démonstration directe comme exercice au lecteur,

(73) KE'-hK'E — KK'=-.

Exercices sur le Chapitre V.