Démontrer que

/ - ^ dz = arc sin -

-t==-^z: dz — arc sm .

(2:H-^)/4-5(^-t-jr)«— 5» -iC^-i-a:)

(Greenhill, p. 355.) pu' p^u p^ 6. Démontrer que

S. Intégrer — , -^— * — ;— • pu p^u p^u

/^^^3=S"*^-l^^^("-|"")~lî^^"'.""'sK"~5"")'

en supposant ^j = o, ^3 = i.

PREMIÈRE MÉTHODE DE CALCUL : USAGE DES TABLES.— CALCUL DES PÉRIODES Wp wj ET DES INTÉGRALES COMPLÈTES t;,, tij : !• CAS DU DISCRIMINANT POSITIF; 2» CAS DU DISCRIMINANT NÉGATIF. CALCUL DE sna, en a, dnw, pu, Ça. PROBLÈMES INVERSES [FORMULES (75) A (83 bis)].

Ainsi que nous l'avons vu dans le Chapitre précédent, les fonctions elliptiques s'introduisent dans l'intégration d'expressions qui, outre des fonctions rationnelles, contiennent des radicaux portant sur des polynômes du troisième et du quatrième degré; nous avons vu de plus que tout se ramène, en dernière analyse, à des radicaux où le polynôme est du troisième degré et de la forme 4-3' — g2^ — gz' On est amené alors à poser ^ = pa et les questions sont ramenées à étudier des fonctions pu^ ^u ou. tru] pour cela, il importe avant tout de savoir, connaissant g2 et ^3, calculer les périodes réelles ci>i et 0)2 ainsi que tjj ou 7^2- C'est à ce calcul que nous consacrerons la première partie du Chapitre.

Discriminant A positif; gl — 27^3 > o.

Calcul de wi et w,. — Les valeurs de (i>i et de 0)2 résultent immédiatement des formules des deux Chapitres précédents; résumons-les. Si e^, 62, ^3 sont les trois racines, supposées réelles, du polynôme

nous avons posé

(6-2) sin^O = k^-=î^::i^\ cos^O = k'^= liZifi,

(46') X = ei — «2,

cos'O sin*cp

et les valeurs des périodes découlent des formules (48) ou (48')

Le lecteur trouvera à la fin du Volume (Table I) les valeurs de K avec cinq décimales pour toutes les valeurs de 6, de degré en degré.

Calcul de fii et de tjj. — Je partirai de la formule suivante, dans laquelle figure en apparence un élément 0)2 imaginaire, mais dans laquelle au fond la variable 11 et la fonction sont également réelles [voir variation de pu {fig* 3)]. L'intégrale prise entre des limites réelles est donc parfaitement déterminée

f p(a-r-C«)i)rfM.

Cette égalité se démontre aisément; car

f J5(a -f. 0)2) rfa = — [î(a -h w,)]"*

= --î(a>i-ht«)j)-4-Ç(w,)

La relation (Sg), déjà si souvent employée, noiis amène à écrire, \ et k conservant leur signification ordinaire,

pu — et z — ej

et la variable z = pu décroîtra de 00 à ^i , lorsque u croîtra de o à (ù^ : p' u sera négative et l'on aura

dz = p'u du = --i ^\z — Cl) {z — et) {z — Cj) du.

Par suite, en se reportant à la formule (a),

dz

J« V ^ - ^î/ 2 )/{z - ei){z - e,) {z-ez) f^i= / c,-— + XU«/ -=•

88 CHAPITRE Tl.

La première intégrale est donnée par la formule (66); elle a pour valeur — ci),^2- H s'agit d'exprimer la seconde; pour cela, nous allons introduire la fonction complète de deuxième espèce de Legendre, c'est-à-dire, au fond, revenir aux fonctions elliptiques de Jacobi. La transformation indiquée est donc, comme dans la formule (63 bis)^

z ss ei-\ — T> A = Cl — Cl,

et X variera de o à i lorsque s décroîtra de oo à «i . Voici le calcul :

Z — Cl — — - — A = A — ^—9

z-ca=— -(C3-C0 = X— ^^p— ,

Xrfar <au — — a — r- •

Le second terme de tii devient donc

J« •(i-a:«)(i-it«ar«) Il peut s'écrire

L^o ^^-^* Jo v/(i-^*)(i-A'*^*)J

ou

Par suite,

Tii = — o>,c,H- v/X (E - K) = — — : c,-h /X (E — K),

ou enfin

(75) ,.= ^E-^ = /.-.=ril(E^).

La formule d'homogénéité (67) va nous permettre de rattacher r,2 à Tii, comme elle Ta fait pour 0)2 et <0|. Intégrons-la par rapport

à u; elle devient

(76) (Çi/; ^„ ^3) - /;: ç (a /?; p,, g) ;

la constante d^ntégration est nulle parce que les deux membres pour u infiniment petit ont comme valeur principale -• Dans l'équation précédente faisons (jl r=r — i ; elle devient

Par Tadditionde 2ti>2, le premier membre se trouve augmenté de 27,2; il en est donc de même du second; ui est augmenté de 2W2£, et Ton a

ou, en revenant aux notations de la page 60,

Mais, 2^2 étant la période réelle de p{i^] g^^ — gz)^ on a aussi

27) jouant, vis-à-vis de cette fonction JJ(p; g^2> — ^s)» 'e rôle de 27;, vis-à-vis de Ç(w; g^^ g^)- Donc

ou

Mais nous venons d'apprendre à calculer r, ; on a, toujours en conservant les notations de la page 60,

et enfin

Cette formule, jointe à la formule (75), permettra de calculer les deux constantes r^i, 7^2- La Table I, que nous avoçs mise à la fin du Volume, donne les valeurs de l'intégrale^^ae deuxième espèce E pour toutes les valeurs de Tangle 8 de degré en degré.

Corollaire. — Portons les valeurs qui viennent d'être obtenues pour Cl),, 0)2, 71,, 7i2 dans Téqualion (aS); elle devient

ou