K'E-+-KE'— KK
C'est la formule que nous avions annoncée sous le numéro (73).
Cas du discriminant négatif; {g\ — 27^3 <;o).
Calcul des périodes 0)1, cos. — Supposons maintenant que les racines de Z ne soient pas réelles toutes les trois et rappelons que nous avons alors désigné par e, la racine réelle.
La transformation indiquée dans le cas du discriminant positif ne peut servir ici et il faut procéder autrement.
Rappelons les formules (66) et (66')
(66') et soit
^« r* ^r r" dy .
' Le^^y'-^^y-^^^ ^-e.v/Y'
- ei)[{z — m)«-h /i*] = 4(5 - ei)(3 — e,)(5 -
d'où
Posons
a 4ei 4
(/) H« = (/n-eO'H-n* = (^i-^î)(ei-e3)=^J^-^/i*=^?'(et) et faisons, dans la première intégrale, (g) -5 = e,-4-Htang«^;
dz = ll tangi — 2— >
/do 2 008* 2 4 / H ( IH- tang* 2 J — 2 ( 771 — «1 ) tang* 2
>^ J^ 2/H/r=Tîsin*ç)
avec
/.N I.Î H-f-m — ei I 3e, (0 X:î= __=--jj.
Il résulte de la valeur de H que X:J est toujours positif et plus petit que l'unité; Tintégrale
est donc bien déterminée, et Ton a
Pour calculer ^> je remarque que
m et n ajant les mêmes significations que plus haut. Je poserai alors
^= — e,-r-Hiang»2;
d'où
rfj^ = Htang|-^,
/ 2Cos«ïl/H(i-Mang*2)-f- 2(/
(m — c,)tang*-
2V^H ^i"— Xr'j* sin»(p
avec
Donc enfin
(78 6w) '^^'^^Ta'
en posant
Remarque importante. — Il résulte, soit de ce qui précède, soit de la variation de J3 2^ {J^g* ï et 5), que
(79) pwi = pwj=ci,
et cette constatation suffit à montrer que 20), et 20)3 ne constituent pas ici un couple de périodes primitives. Une vérification va le prouver de nouveau.
Nous avons vu [équat. {5g)] que
^^ ' pu — Cl
on a aussi, puisque p<02= ^i,
p(e, + co,)-gi= ^^--^^^ ,
donc
p(tt-f-tOj)=p(ttH-a>i)'
Soit fait dans celte équation d'abord w = t; -f- 0)2, d'où
p(p -H awj) = pç» = p(p -4- OJiH- (0|),
puis, M = (? — 0)2, d'où
pv -pCi^-i- wi—coj);
on voit que a>i 4- (02 et (0| — CO2 sont deusc périodes imaginaires conjuguées; et par suite, la fonction puy constituée ici avec les périodes 20)1 et 2(02, admet non seulement les périodes
2^1 (i>i H- 27W2<*>2î ™3l^S CUCOrC (2 /n4 + l) (i)| -f- (2/W2H- l)ci)2.
PREMIÈRE MÉTHODE DE CALCUL : USAGE DES TABLES. qS
Nous allons vérifier que
0)1 -f- tOt tOi — U>s P :^ ^3 et p = tf j,
en nous appuyant sur les formules de l'exercice 10 du Chapitre IV. La formule d'addition de pu donne
= (p — iq)^—iei = (/>-+- iqy— 4 ^>y - a^i
or, l'égalité qui définit /> et ^r donne, par l'élévation au carré,
6, — ^3 = ei — m-\- ni =p^ — q^-h 2. ipq ; d'où
•xpq = n
et, pour la quantité conjuguée,
g, — «2= ex — m — ni— e\ — m — 7.ipq,
En retranchant, on trouve
Donc enfin
(/n) p = Cl— es — 2^1-+- ^3 — ej — — «1 — ej = «3.
Le changement de i en — t donne immédiatement
. . OJ, 0)2
Nous poserons par la suite
i, (Oi -t- 0)»
Deuxième remarque. — Dans le calcul qui vient d'être fait
pour obtenir <o, , on aurait pu ne mettre la limite inférieure et dans l'intégrale qu'à la fin ; à la place de (66), on aurait eu
dz
-— r OU Z = pU-y
à la place de l'équation (/?),
u= — -~ I -? — - ouivvv.'r — 9 = sn2tt/H"-
2^/Hjç v/i-^îsin»?
La formule (g) devient alors
« V TT n-cnîw/îî
(8o) pu = ei-^U ^•
1 — cn2tt /H
Calcul de Yît ©t d© ^i» — O^ vient de voir que les véritables périodes principales, dans le cas du discriminant négatif, sont, non pas (0| et (02, mais les quantités que nous avons appelées o>' et co". Appelons tj' et rf les accroissements correspondants de ^u^ c'est-à-dire que
( Ç(tt-+-2W') =Çm-+-273', \P) i
( Ç(M-H2a)") = ÇwH-2V>
Ces deux nouvelles constantes sont évidemment imaginaires conjuguées, et l'on aura
Y^i étant réelle et 7^3 purement imaginaire. Ces deux formules sont les analogues des formules (o).
La formule qui peut servir de définition k pu = z,
dz
Ça = — / pudu z=i — / ^^—^
a besoin d'être expliquée, si pu est imaginaire. Sans examiner le cas général, je considérerai l'intégrale
r '■ z dz ____ /•*»
zdz
2 v/( 5 — ei ) [(^ — /n)«-f- n*]
analogue à celle qui a donné 7]i dans le cas du discriminant positif. Les limites de z étant
€^= m-+- ni,
^3= m — ni, n > o, d'où
Cl = — 2/n;
il suffira de poser
z = m — it
et de faire varier ^ de — /i à -f- n. Le coefficient différentiel ^^=?-
pouvant être mis sous la forme rfA -h id^ (A et B réels), l'intéffrale à calculer se trouve ramenée à la somme de deux intégrales
Çdk et r^B,
où la variable t est réelle. Elle est donc bien définie, au moins dans les mêmes conditions que toute intégrale réelle, c'est-à-dire si le coefficient différentiel ne devient pas infini dans les limites de rintégration. Maintenant, quelle sera la quantité calculée? On
a vu que pu = z prend la valeur e^ si u= — — ^ = to', et la valeur ^2 si a = dj"^; en même temps, ^u prend les valeurs V et V; le résultat sera donc
et nous pourrons poser
^''zdz r"" (m — it)idt
v/(3m — it){t-\'n)(^n — t)
Il s'agit dans l'intégrale de séparer les parties réelles et les parties imaginaires; pour cela, transformons d'abord la quantité imaginaire qui provient du dénominateur, en posant
96 CHAPITRE Yl.
d'où
- — ' — r =aî— S«-~aa3/, 3m~-U ^ ^ '
Le radical est pris naturellement avec le signe -h-
o, __ \/9 m^ -4- f ^ — 3 m ^ P "■ 97/ÏM^»
Avant d'extraire les racines carrées, je ferai observer que le signe de a est arbitraire; je prendrai le signe plus; mais le signe de p est déterminé par la deuxième égalité (r) ; c'est celui de t; ce que j'indiquerai par la notation e^. Nous aurons ainsi
Cela posé, le produit (m — it)i{7. -\- ^i) ayant pour valeur
at — pm -r i(am -h P^),
on aura, en posant
It v^3/7i 4-/9m*-h /* — /W£fV^/9/n*4- ^« — 3m J,
,- , — ,- =^^=im\^^m -h\/^m^-h t^ -^ tBt vVg'^'-t-^* — 3m].
Si Ton écrit
les coefficients différentiels, qui figurent dans chaque intégrale, passent évidemment par la même série de valeurs, en valeur absolue; mais, à cause des facteurs f, — e^, les deux intégrales sont de signes contraires, et A est nulle, ce que noua avions prévu; au contraire, dans B, les deux intégrales partielles s'ajoutent, et l'on peut écrire
Je poserai
d'où
tdt^ydy,
et je rappellerai que, suivant une notation précédente [formule (/)],
v/9/n*-+- Ai* = H.
Il vient, en supposant m positif,
B= r" {y-''JLm)dy
Soit maintenant, pour avoir un dénominateur de la forme type
y^-p-hm, la valeur définitive de B sera
^\/(p—Pi){p — pi){p—Pii en posant
p^=^2m l Pi>Pt>Pt' p^=z m — U ] L. L.
9^ CHAPITRE Yl.
Il existe donc une fonction p^u définie par Tégalité
Soient 2Q{ et 2Û2 ses périodes réelle et purement imaginaire , je poserai, dans la formule (5),
jD = Pa( w — Û, — û,) = pa(w + Û3),
et il faudra donner à u les valeurs zéro et Û| pour que p prenne les valeurs correspondantes /72 et/>3 ; on aura donc, les intégrations se faisant sur des quantités réelles, comme à la page 87,
B - — v^2 / [pa(a + Û3)— /n]û^tt
OU enfin
(0 ^ = B = /i(jû.--ria,);
les indices a rappellent que les constantes se rapportent à la fonction paW, ou encore aux fonctions elliptiques de module A'ot
/■> P\—P^ ï ^ 3c, Pi—Pz 2 4H
Ce module est précisément celui rencontré dans le calcul des périodes, formule {k)\ donc
Le module complémentaire k'^=^ i — k'i sera
les intégrales complètes correspondantes seront K, et Kf ; enfin les intégrales complètes de seconde espèce seront
Ea=Ei=r û?(p/i — A:>sin«cp.
Or, on a trouvé, dans le cas du discriminant positif (48) et (75), que
o Kg K',
.a.= v/?7=77(E,-^K„)=A-H(E'.-^K'.).- La formule (t) devient donc
(81) 7i,= .Vh(k;-2e;).
Une méthode analogue à celle employée dans le cas du discriminant positif permet de rattacher la constante réelle 7|,, qui nous reste à obtenir, à la quantité purement imaginaire r/ d'une fonction Ç(w; ^2î — ^s)» P3ir I21 formule
t/ est donnée par la formule (81) dans laquelle il faut seulement mettre le module complémentaire, ce qui revient à remplacer K^' par Kj, E, par E|, et l'on a finalement
(82) T,, = (Ki-2Ei)^/H.
Corollaire. — Du rapprochement des équations (78), (78 bis) y (81), (82) et (73), il résulte que
Cette égalité, non concordante avec l'identité (aS), nous montre une fois de plus que coi, to^ ne sont pas les périodes qu'il faudrait employer pour constituer les fonctions 9 destinées à reproduire nos fonctions actuelles pu et^u.
Au contraire, l'égalité
qui proviendrait de la constitution d'une fonction 6 aux périodes Cl)' et Cl)'', conduit immédiatement à l'équation ( w), en se reportant aux formules (o) et (^r).
