PRINCIPAUX PROBLÈMES

Il résulte de ce qui précède que dous saurons toujours, en nous reportant à la Table I, calculer les périodes (0|, (O2 et les intégrales Tji, T,2 correspondantes. Dans ce qui suit, nous allons passer en revue quelques-uns des principaux problèmes qui se présenteront dans la pratique.

Problème I. — Connaissant u et A*, calculer snw, cn^/, dnw, pu, pUi et ^u,

i*^ Calcul de sn m. — La Table II donne la réponse immédiate ; nous savons qu'on pose

A' = sin 6, sn a = sin ç> ;

soit w = Wo la valeur donnée ; la Table fait connaître l'amplitude ©« correspondante, et les Tables de logarithmes ordinaires donnent sin(po(= s^w)-

Soit, par exemple, k=-7 i/o=o,4755i; comme 9 = So®, on

trouve, en descendant la colonne qui commence par 3o°, le nombre Uq donné; d'où

log sin cpo = 7,6570468, snw = sinço= 0,45399.

2" Calcul de cnw. — La formule

sn*w -+- cn^u = i permet de ramener le calcul de en t^ à celui de snu; on aura

cnw =±: /(i — sna){n-sna).

3*» Calcul de dn w. — On utilisera la formule

dn*WH- /•* sn*M = i ou

dau =±:\/(i — Asnw)(i-f- Asna).

PRBMifiRE MÉTHODE DE CALCUL : USAGE DES TABLES. 10 1

4^* Calcul de pu, — La formule (63 bis) donne la solution dans le cas du discriminant positif

pM = ejH /' 7 ^' . r («l>C3>«î)-

Si A est négatif, c'est la formule (80) qui doit être employée

, I -4- en (2 a v^) pM = ei-+-H ) '^-=={

5° Calcul de p'u, — L'équalion différentielle donne, dans le cas du discriminant positif,

p'u = 2^{pu — ei){pu — ei){pu — ei) et, si A < o,

p' u — 1 \{pu — ex) {{pu — m)* H- /i^J.

6*" Calcul de ^u. — Ici, quelques explications préliminaires sont nécessaires. Legendre a donné des Tables où se trouvent inscrites les valeurs de l'intégrale elliptique de seconde espèce, qu'il a prise pour type et qui est désignée par la notation E(cp,Â:), ou simplement E(f ) lorsqu'on n'a pas besoin de spécifier le module k :

(u) E((p) = 1 rf<p /i — A* sin»çp.

Nous donnons, à la fin du Volume, un abrégé de ces Tables pour toutes les valeurs de <p, de degré en degré, et pour les valeurs de 8, de cinq degrés en cinq degrés. Il s'agit maintenant d'y rattacher ^u.

Si le discriminant est positif, la transformation utilisée pour relier snu et pu sert encore ici ; on pose

(v) sincp = sn(w/X), X = ei— ej;

d'où

cos(p do = /Xcn(w /X) dn(a/X)rfa,

E(<p) = /X / dn«(w/X)e/w = \/X / {i — k*sn^u\/\) du,

OU, en tenant compte de l'équation (63 bis),

Or (59)

ex — Ci ^ p(t^-not) — g» , pu— c, ""^ e^— e% '

donc

E(cp)=a/X— —- — f [p(a-i-tu,) — cj]û^a

(83) /X E(<p) = eia-f-î(aH-a>j) — T^j.

La formule (4o) permet de faire disparaître toute trace d'imaginaires en remplaçant les deux derniers termes par IT^/H ^ ,

et l'on a

(83 bis) v^X E(<p) = ei M -h Çf^ ■

2 pu — ej

d'où la règle suivante : Étant donné w, on calcule u\/\, puis, à Vaide de la Table II, o, comme cela a été indiqué i°; la Table III donne alors E(cp) et, dans la formule précédente, tout est connu sauf X^u qui est ainsi déterminée.

Si le discriminant est négatif, nous partirons de la formule (8o), comme 4**7

r.„-^ . u 1-^ en (au y/H)

p M = ei H- H — — ï

I — en (au y H)

et nous y remplacerons d'abord u par «/ -f- o),,