en (a w /h) cn»(ttv/H

Considérons maintenant une fonction p^^u déûnie par les racines

J3a«^ est reliée à sn(tty/H) par la formule (63 6w),

sn*a/H= ;

d'où

L'expression à intégrer devient ainsi

(PaU — pz){paU—pi) (pi — pt){paLt^—pi) (/>8--/>i) (Pa" — />j)

L^nlégratioD de la formule (x) est mainlenaDt immédiate, et Ton a Ç(w -+- wi) — Y], = — eia -f- î;a(w -+- û,) -+- ;»( M -h ûï) — ^iai — ^^at-+-/'î"• 0^, la formule (4o) donne, en y remplaçant u par a -h ûo et r par

2 PaU—pt d'autre part

et, à cause de (83),

2Îa( w + Ûj) = 21aî-+- 2 /H E(ç>) — a/>i a.

Donc enfin, en remplaçant />i et y?^ par leurs valeurs et ajoutant les quatre égalités précédentes membre à membre,

(84) Ç(aH-a)i)-Yi, = — aH-f.a/HE(çp, Ai)^-

Pa"

avec

sinîp = sn(M, Xtj).

Telle est l'équation qui remplacera (83) et permettra de calculer ^u dans le cas du discriminant négatif.

Problème II. — Connaissant une fonction elliptique, calculer l'argument.

i" On donne anu; calculer u. — La même Table II, déjà employée, fournira une solution. Si a est la valeur donnée de u et 8 l'angle modulaire, l'égalité sîno = a fera connaître un angle ç et u se lira au croisement de la ligne et de la colonne qui commencent par les valeurs données <f et 8. Soit Uq le nombre ainsi lu ;

on aura

sn a = sn uo ;

d'où

u = «0-+- 4'^Kh- am't'K'

et, en utilisant la première formule (49)? dans laquelle on posera

u = 2K ^ uo-^ i mK -¥- am't'K'.

2^ On donne cn«, dnw. — Par suite, on connaît sn^^ et w, sauf un choix de valeurs facile à faire et analogue à celui qu'on fait dans la Trigonométrie élémentaire pour les problèmes analogues.

3° On donne pu. — Soit pu = a et A > o. La formule (63) donne alors

sn{u^€i—ef)= '~^' irz y a — Ci

On connaît donc snu^e^ — ^a? et la Table donnera une valeur pour u yjex — ea, d'où w; soit Uq la valeur ainsi obtenue; on aura

et par suite

Cela suppose a > ei : si a est entre ^2 et e^y u est de la forme iù2-\-v et pi^ sera donné par l'équation ( Sg)

pv = e,H ;

a — ei

d'où l'on tirera ^.

Si le discriminant est négatif, c'est la formule (8o) qu'il faudra employer

i-t-cnaa/H __ « — Ci I — en 2 w /H M

cn2a/H =

On connaît donc en 2 m y/H; par suite, au signe près, sn2wy/H, par suite 2U^H. et u-=Uo. Il faut bien observer ici que les périodes réelle coi et purement imaginaire (Oj n'étant pas primitives, la série de valeurs répondant à la question sera donnée, non par la formule (y) qui vient d'être écrite, mais par la suivante {voir la remarque de la page 92)

Bien entendu, il restera toujours une discussion trigonométrique provenant de ce que c'est pu, et non sn2u ^/H^ qui est donnée.

Remarque, — Si a est compris entre e\ et e^ ou inférieur à e^ dans le cas du discriminant positif, si a est inférieur à e^ dans le cas du discriminant négatif, on remplacera a par — a et l'on aura, par les procédés qui viennent d'élrc donnés, uyj — i [voir équat. (67')].

4** On donne Ç«. — Il n'est pas possible ici de donner un procédé de calcul; on devra donc procéder par approximation, en s'inspirant du problème particulier à résoudre et de la variation connue de Cm.

Remarque générale. — Dans certains cas particuliers, les formules peuvent se simplifier (voir, par exemple, le cas où ^a = o, p. 129 et i3o).

Exercices sur le Chapitre VI.

1. Étudier Ja variation du rapport-:—^: i* dans le cas du discriminant positif; 2** dans le cas du discriminant négatif.

â. Calculer (x>| dans le cas du discriminant négatif par la méthode suivante : on posera

•^ z — ei -^ z — ex

y\ étant le minimum de y considéré comme fonction de z définie par l'égalité précédente, et z^ la valeur de z qui lui correspond.

Soient de même ^3, S3 les valeurs de^ et de z correspondant au maximum; on aura

z^— //i-f- ^ = ei-i- II.

On posera alors

y = Pi("; e'i, e'j, e\)-'e\ avec

e'i = et-4-2H, e\ — e\ — i\\^ 63= — 2 e,, ^i>e', >e',,

et si Ton appelle 2a>i la période réelle de p\Uy on verra que

dans cette formule, l'intégrale complète de Legendre correspond au module

Par suite, si K', est l'intégrale complète relative au modale complémentaire A-',* = 1 — A:f , et si aïoj désigne la période imaginaire de pi a, on aura

/H et il sufGt de comparer avec le texte pour voir que 1l^\— cO].

3. En désignant par A la quantité y/ \ — X:* sin»ç>, et en posant ^ = F(A:,cp) = F, j Arf^ = E(A:,(p) = E, démontrer que

f^±l^ =;iî(Atang,-E), /•rfytangM-9^^^ .^^p

X^ =Atangç + F-E.

j A3é/«p = ~A sincpcos<p-+- ^î^ — 5 E —F,

i Aacpsin^cp — — - Asin<pcosoH EH-r-r^F.

4. Dans le cas du discriminant négatif, démontrer, en se servant de la formule d'addition, que p(toi+a)s) est infinie.