I. — PENDULE SIMPLE

Soient / la longueur du pendule, a Tangle d'écart initial égal à

ZOA, 6 Tangle d'écart à l'instant t lorsque le mobile a parcouru le chemin 5, les arcs et les temps étant comptés à partir du moment où le pendule est vertical. L'axe des z est vertical et supposé dirigé de haut en bas : on suppose qu'à l'instant — ï, le

pendule a été abandonné à lui-même sans impulsion, à parlir deOA(/^:9).

Le théorème des forces vives donne immédiatement la relation

t^*=(-7^j = 2^a/?i = 2^/(cos6 — cosa

ds = / rfe.

L'équation du pendule est donc

ou, en posant

ndtrr-.

rfO

al/ sin* sin*-

Le signe -H choisi devant le radical correspond à la montée. Soit

d'oii

sin - = k, sin - = Arsin©;

- cos -cTO— -4/1 — sin*- = - ^i — k^ sin*© = A cos © û?©. '1 '1 2 y 2 2 ^ ^ '

L^équation (a) devient

rf©

V^i — X:* sin«© do

■ k^ sin* o

APPLICATIONS MÉCANIQUES. I f I

Le temps est donc donné par une intégrale elliptique de première espèce dont Legendre a construit les Tables {voir notre Table II).

Remarque. — En fait, ici, les fonctions elliptiques ne sont pas encore intervenues et, dans bien des cas, on pourra s'en passer. Maïs leur introduction simplifie les calculs et permet de trouver des transformations qui, sans cela, seraient demeurées cachées.

Le temps que le pendule met pour s'élever de l'angle a s'obtient

en faisant ç = - (8 = a); on a alors l'intégrale complète

J^ /i — /i*sin*o En faisant l'inversion de la formule (6), elle devient

sincp = snf 4 / y

sin - = sin - sn f I / 2. = sin - sn u, 2 2 V * 2

D'après les propriétés de snw, lorsque u augmente de 2K, snw change de signe sans changer de valeur, 6 change de signe sans changer de valeur; le pendule prend donc,

pour deux valeurs du temps différentes entre elles de aRi/ — >

deux positions symétriques par rapport à la verticale. 2K4/- est

la durée d'une oscillation simple et, parce que 4K- est la période

de snw, 4K.1/— est la période du pendule, c'est-à-dire le temps

nécessaire pour le faire repasser au même point avec une vitesse dirigée dans le même sens.

Dans ce qui précède, on a supposé qu'il existait une position du pendule où la vitesse peut être nulle (angle d'écart initial); les mêmes résultats seraient obtenus en supposant que le mobile est écarté de la verticale avec une vitesse initiale i^o égale à ^2glcosa. Les résultats sont un peu différents si (^J est supérieure à 2g, 2 1

I r 2 CHAPITRE VU.

{il hauteur de chute maximum) ; le pendule tourne alors constamment dans le même sens. Posons t';= iga (a]> 2/); le théorème des forces vives donne

f* = lag / 1 — X:* sin* - \

en posant Xr -= — • La forme est analogue à celle du cas précédent;

nous n'y insisterons pas davantage.

Soit enfin ç?J= ^gl] Téquation (c) devient

v^= igl -^ ^gl sin' -• ^ ^gl cos* -

et s'intègre par les fonctions élémentaires. On trouvera

,^=logtangQ-.|).

et il est très intéressant de remarquer : au point de vue analytique, que ce cas correspond à une valeur i pour le module k des fonctions elliptiques ; au point de vue mécanique, que, pour atteindre le point le plus haut == ir, le pendule mettra un temps infini ; cela tient à ce que sa vitesse tend alors vers zéro.