II. - ÉLASTIQUE PLANE
L'étude de la forme prise par une lame de métal élastique que l'on déforme, ainsi que des pressions auxquelles elle est soumise, est du domaine des fonctions elliptiques, comme on va le voir.
Nous nous bornerons, dans ce qui suit, à un cas particulier : celui où la fibre moyenne de la lame est plane et où ses extrémités seules sont soumises à des forces extérieures; nous renverrons,
APPLICATIONS MÉCANIQUES. Il3
pour l'étude complète, au Chapitre V du Tome II d'Halphen (p. 192 à a36), dont la lecture n'offrira plus de difficulté quand on aura compris ce qui suit. La lame AB (^fig^ 10) fléchie étant supposée coupée au point M, il faut, pour maintenir la portion AM en équilibre, remplacer l'action de la portion supprimée MB par une force F appliquée en M et par un couple N; on admet que le couple a son moment N prof)prtionnel à la variation de courbure de la fibre venue en M
N = b(1 1); VP Po/
p est le rayon de courbure en M, p© le rayon en Mo avant la déformation, B un coefficient dépendant de la nature et des dimensions de la tige métallique. Dans ce qui suit, nous supposerons que la forme primitive de la tige était circulaire ou droite ( — constante
ou nulle). Pour avoir les équations d'équilibre, il suffit d'exprimer
que la force F et le couple N font équilibre aux éléments analogues F^ et N| correspondant au bout A, ce qui exige d'abord que les forces F et F, soient parallèles, de sens contraire et égales en grandeur. Prenons leur direction pour axe des Xy les axes rectangulaires ayant encore une origine et des directions non fixées. Soient X\^ y^ les coordonnées du point k.\ x^ y celles de M; la somme des moments de toutes les forces par rapport au point O doit être nulle; d'où l'équation
Fi^i— Fj^-h N — Ni = o.
On en tire pour N une valeur de la forme
d'où
OU, en déplaçant Ox parallèlement à lui-même,
(*) Dans la pratique, Téquation (/) s'intégre en prenant - — -r-îj, ce quN
p uX
Il4 CHAPITRE VU.
On peut toujours, en choisissant convenablement le sens des moments, supposer G positif, ce que nous ferons.
Pour intégrer l'équation (/), appelons 6 Tangle de Ox avec la tangente à la courbe en M; on aura
d^où
^- = cos6, -^=— smO, - = — ;
ds os p os
-r— =— sin6-7- = -T >
os^ os ôs p
d^x iC dy Is^ ~~ H^^ls'
Intégrons : il vient, en désignant par h une constante, . , dx Cy^
Portons cette valeur de -r- dans Téquation connue
Nous en tirerons <l'où
C'est une intégrale elliptique; nous pourrons donc, en effectuant l'inversion, exprimer y en fonction elliptique de 5. Pour cela, posons, z étant une nouvelle variable positive^
yi=a^z-y d'où
. adz
dy^—j^'
ày peut faire si -^ est très petit; s'il n'en est pas ainsi, on ne peut pas non plus, en
générai, adopter pour N la valeur donnée par la formule (<?). Le problème traité dans le texte est donc en réalité un problème très particulier.
APPLICATIONS MÉCANIQUES. I l5
L'intégrale devient
adz
et les racines de la quantité soumise au radical sont
Il faut classer ces racines; nous supposerons pour cela h^<ii', alors on a
et, pour la réalité de s, il faudra que z reste compris entre Z2 et ^o- Posons alors
d'où
et
Gds ^
= du,
^3 = — -50— ÔQ =— ÔQ / («l>«3>€ï),
ei = — Zi'
L'intégrale elliptique précédente devient
P = 2 (/? — e, ) (/? — ej) (/? — e,),
et p devra être compris entre 62 et e^. Une dernière transformalion est alors nécessaire pour pouvoir introduire pu avec des valeurs comprises entre €2 et ^3, sans qu'il soit besoin pour cela de donner à u des valeurs imaginaires; cette transformation est inspirée par la formule (Sp)
(g| — e3)(gi— es) a«
Il6 CHAPITBB YII.
la dernière égalité définissant a. On voit que p variant de e^ à e$, / varie de ^i à oo, L^intégrale précédente devient alors
r- dt
la constante d'intégration est, cette fois, définie par la condition que u s'annule pour ^ = 00; on peut donc poser
d'où
t = p(u; eu eiy et) = pu:
pu — €3 a*
pu — 63
pu— 63
(h) y- — ^°'= = - ^"— sn(Mv/e| — gj).
^pu — e^ /ei— e,
Portons cette valeur dans {g) : nous aurons x
dx Cdx Ca*
ds a du pu — «3 "' dx a' h a'
idu ~ pu — Ci ' C ~ pu — €2
L'équation (dq) permet, en tenant compte de la valeur de a^, d'écrire Téquation précédente
dx , . 3cs , N <^8
(0 ^^ = — p(w-Hù),)-t-e, ^ =p(w + a>3)— ~,
et, en intégrant.
- =;(w-hC03) — r„— 1^3 M,
la constante introduite par l'intégration a été choisie de manière que :r, comme y^ s'annule en même temps que w. La formule d'addition des fonctions Ç (4o) permet, en j mettant (03 à la place de v^ de transformer l'équation précédente en
et cette formule, jointe à (A), donne la solution du problème; les deux coordonnées d'un point de l'élastique sont exprimées en fonction d'un seul paramètre et Ton pourra construire la courbe. L'équation (i) donne la dérivée de x] reproduisons ces trois équations en y adjoignant la dérivée de y qui sera utile pour la discussion
- = Çm eiU-\ = Ç ( M -4- (1)3 ) — Yja 63 w,
y ft CL
« /pw — e, v/«i —
:sn(a/ei — ej),
dx / V ^3 a' o ^3
ac^M '^ ' 1 pu — es 2
->- = aa^^-^^ ^-^^^ ^ = aacniuy/ei — etjdniu^ei — e,),
du pu — 63 \ r 1 1/ \ T 1 z/j
Les signes des radicaux ont été choisis de manière que y croisse d'abord à partir de o avec u.
Construction de la courbe. — On voit, immédiatement, que X et y sont des fonctions impaires; l'origine est donc un centre. Le coefficient angulaire de la tangente à l'origine estj^^ = — -r
Supposons d'abord e^ positive. — x et y sont d'abord nulles avec u; puis u croissant, j^ croît et x décroît (dérivée négative). La dérivée de y ne s'annule pas avant que u n'atteigne la valeur coi , pour cette valeur de w, -^ = o et la tangente est horizontale si
— ^ o. Cherchons la valeur de --t- pour w = (0|
dx , V ^3 ^3 1
Cette valeur est positive et le sens de la variation de J? a changé entre a et (i>| ; il n'a d'ailleurs pu changer qu'une fois, car la
dérivée de — -^ = — - — °^ ^ " ,, ne s'est pas annulée dans l'interadu (pu — ^3)* ^
valle. La valeur finale de x sera
Xi = Î((i>i4- W3) — T^3 e3tOi = — r^j — r^3— -^30)1 = r^j — - 630)1;
elle pourra être positive, nulle ou négative.
Il8 CHAPITRE VII.
La courbe se trouve ainsi bien définie pour toutes les valeurs de Uf comprises entre — (o^ et -|-(i>|. Si, maintenant, on change u en 2(0| — w, y ne change pas de valeur; mais comme
et
la demi-somme de deux valeurs de x correspondant à {/ et à 2 0)4 — u sera
T^l— -^SVDl,
c'est-à-dire précisément a: «. La courbe sera donc symétrique par
Fig. II. Fig. 12.
h négatir.
rapport à l'ordonnée maximum. La période 4w< de^ montre que
la courbe se reproduit ensuite indéfiniment à des intervalles égaux en abscisseà 4^< = 4^ii — - 2^3(0.. Lcs/iff, 11,12, i3, i4montrent
APPLICATIONS MÉCANIQUES. (IQ
les diverses formes de courbe qu'on pourra obtenir : Téquation
1 aC
montre qu'il y a inflexion pour tous les points situés sur O^ et pour ceux-là seulement.
Fig. i4.
h positif.
