CAS LIMITES
1° A == o. — On a, par la formule («),
dx aoL du ~^ pu
dx
-T- part de o pour atteindre la valeur finale positive
X varie de o à ru, et Ton a la forme suivante {^fig- i5).
Fig. i5.
2" A = — I. — En revenant au début, on voit que la valeur de s s'écrit
C'est un cas de dégénérescence. On est ramené aux fonctions circulaires, en posant
rSiDQ,
on trouve
ds = -.-^ '
a sino
En portant les deux valeurs précédentes dans Téquation (g), elle devient
)JiQa dx 2 sin» y — i a d^ siny
2 sin 9 .
^ sinç
La valeur de x s'ensuit
X = — 2 cosç — L tang -î- •
La constante d'intégration est telle que x = o pour o pour cette valeur j^ est maximum; © ne peut varier que de 7t à o. La courbe est symétrique par rapport à l'axe des j' et asymptote à l'axe des x; elle ne présente pas de point d'inflexion. Sa construction n'ofi^re aucune difficulté (yZ^. i6).
Fig. i6.
Bemarqiie, — y peut s'exprimer en fonction de l'arc 5, ou mieux de la variable u déjà rencontrée. Car l'équation
a sin© V ^
du
donne, en choisissant la constante d^intégration Logtang? r^ i/i M,
tang- = e ^ <-,
Hi
Cette dernière formule remplacerait la formule (h) et montre que pu di été remplacée par des exponentielles.
3"* h = i, — Ce cas ne donne que des solutions imaginaires, le cosinus-^ ayant une valeur supérieure à Tunité par la formule (g).
m. — MOUVEMENT D'UN PROJECTILE DANS UN MILIEU OU LA RÉSISTANCE EST PROPORTIONNELLE AU CUBE DE LA VITESSE.
Ce problème a été, pour la première fois, étudié par M. Greenhill dans un Mémoire dont la traduction, due au capitaine Gossot, a été publiée par la Bévue Maritime et Coloniale, t. CV. Ce Mémoire est accompagné de Tables numériques que nous ne pouvons reproduire ici; on y trouvera les valeurs de la fonction p{u] o, i).
Mise en équation. — Je choisirai comme axes la verticale Oy, dirigée dans le sens de la pesanteur et une droite Ox, faisant avec rhorizon un angle c^, qui sera déterminé plus tard. La résistance de Tair, dirigée suivant la tangente à la trajectoire, sera représentée par — mg( — ] y en désignant par m la masse du point matériel, par g l'accélération due à la pesanteur, par v la vitesse et par w une constante que M. Greenhill appelle la vitesse terniinale; les équations du mouvement seront, après division des deux membres par m,
dt^ ^'w* ds'
d^y ^ p5 dy
dl* ^ w» ds ~^ ^'
Éliminons les termes qui contiennent i^'
. dx à^y dy d'^x ^ dx
^ ^ li ~ôt^ "^ ~dl ~àt^ ~ ^ 'dV
Pour transformer cette équation, on introduit comme inconnue auxiliaire le coefficient angulaire /> de la tangente
dy ^----dx
Elle devient ainsi . - dp dx
Elle est évidemment commune à toutes les lois de résistance puisque le terme où figure la résistance avait été d'abord éliminé. La vitesse s? sera donnée par la formule
ou
La première équation (A) peut alors s'écrire, en tenant compte de {m) et de (/i),
^idxX-^ d'^x dp. ,.
d'où, en intégrant et choisissant la constante d'intégration, de
. . dx
manière que p = o pour ~t- =:qo
, , «v> /dx\-^ p^ , .
La formule {n) montre que v est aussi infinie pour/? -— o^ à ce moment la tangente à la trajectoire est parallèle -àOx, Posons, pour un instant,
L'équation
s'écrit
ip)
ou
ou, en tenant compte de
dx P' ..-'
OU, enfin,
Torigine des abscisses est choisie de manière à avoir en même temps/? = o et a; = o.
Pour calculer j^, je remarque que
dy — p dx, donc
avec la convention que y =: o pour /? ^= o. Les formules {^)
et (r) qui donnent ^ et y en fonction d'un paramètre permettent
de construire facilement la courbe. Le temps se déduira des
formules (p) et (q)
dt= ^dxP^= -P «rfD,
(S) il^f'p-idp;
le temps est compté à partir du moment où le projectile est censé passer à l'origine des coordonnées.
Inversion. — Nous rencontrons ici un premier et très intéressant exemple de l'application des fonctions elliptiques à l'intégration d'une expression où figure un radical d'ordre supérieur au second (*).
On pose
d^où
, » „ 4/?*— »a/? sincp - f- ii — lyp^gz
(') On peut prévoir que cette introduction réussira en posant y = P* et en
remarquant que, la courbe y^= x^-~ 3x^ s'intp -t-^x étant une cubique sans
point double, l'intégration dépend certainement des fonctions elliptiques, d'après
un théorème énoncé page 8i.
et Ton détermine gz par la condition que le numérateur soit un carré parfait, ce qui donne
4 — 3 sin'<p
/-; — siiiw J!
et, enfîn,
^z^ dz ^ idp
dz dp î. *
v/4-^— ^3 par L'équalion (q) devient donc
dz
cette équation définit :; en fonction de u
z = p{u;o,g3)^pu.
On en déduit
et, en portant dans Téquation (t), (f) /> = --
sinç — 3p'w qu'on peut écrire
Il I
en posant d'où
1 ,ffCL I .
4p^^'~^3= -sin«cp, pv = ^.
Ces deux équations déterminent un argument v ou une abscisse a et l'on voit que, pour x^^^a^ ^ = oo, ce qui donne l'asymptote verticale de la courbe; on va d'ailleurs vérifier que cette valeur a rend bien y infinie.
APPLICATIONS MÉGANIQUES. 125
L'équation (/) donne, en effet,
du
■pu
Pour intégrer cette expression nous appliquerons la méthode générale donnée au début du Chapitre V
p'v-hp'u __ pV-\-p'u p'v-^p'u
p'v — p'u p'^v — p'^u ^p^v — gi — i^^p^u — gz) i{p^v — p^u)
Or on voit facilement que, a désignant une racine cubique imaginaire de Tunité,
— —et, - a*
^{p^v — p^u) pv — pu apv — pu oL^pv — pu
D*autre part, la formule (67) d^homogénéité s'écrit, en y remplaçant successivement [Ji par les deux racines cubiques imaginaires de l'unité a2 et 13^= a,
i ct*p(oLu;Oy gz)=p(u; o, gs) ou pav = apv,
{ ap(a*a; o, gz) = p{u\ o, ^3) pa^v= a'pp;
et cette heureuse circonstance que g2=o en même temps que 0^3— .ps—-! permet de conserver des fonctions pu aux mêmes invariants dans les deux membres de l'équation d'homogénéité. Grâce à cette circonstance, l'équation précédemment obtenue par la décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples pourra s'écrire
-7 — - — j- =(pV-f-p'a) 77
4(pa
v — pu) ■*" 4.(pa«t'--pw)J'
Reportons-nous maintenant à la formule (4o) en y écrivant — v au lieu de p', !JV=: — pv au lieu de Ç'( — v) et — X^'çzn^p'v au lieu de Ç''( — v) ; elle se présente ainsi
^ ' ^^ ^ ^ ^ 1 pu — pv
Mais en dérivant les formules (u) on voit que
et chacune des trois fractions qui constitue le second membre de l'équation (v) est bien du type qui figure au second membre de Téquation [x). L'équation (ç) peut donc s'écrire
p V — pu 7.
-i-aÇ(ap — a) — aîaP4-a'Ç(a*t'— m)— a*îa*tj];
les termes en^u ont disparu à cause de la relation connue
Les termes en !Jt^ se simpIiGent en s'appujant sur la formule d'homogénéité relative aux Ç (76) dans laquelle on a remplacé ul par a^ et par ^^
La valeur de ^ devient enfin
(''') 1^= f [i;(^-w)-Haî(aP-a)4-a«Ç(«*P-w)-3Çi^]rf«,
OU, en effectuant l'intégration,
(''") ^ =--logo'(t^ — w) — alogo'(at'' — a)— a»Joga'(a*t^ — a) — 3ttît',
la constante d'intégration et les déterminations des logarithmes sont choisies de manière quejK= o pour u-^o.
Cette expression montre bien que y est infinie quand on fait x = a ou, ce qui revient au même, u=^v. Malheureusement elle est entachée d'imaginaires et la discussion en est pénible [voir Halphen, t. I, p. i5i).
Nous nous bornerons ici à tirer des formules auxquelles nous sommes parvenus quelques résultats intéressants tant au point de
vue du problème acluel qu'au point de vue de la thëorie générale.
Il esl d'abord de toute nécessité de revenir sur le choix qui a été fait des axes de coordonnées. Résumons les hypothèses faites : le temps est compté à partir du moment où le mobile est censé passé à l'origine des coordonnées. A ce moment/? = o, c'est-à-dire que l'axe des x est tangent à la trajectoire; mais les formules (/?) et (0) nous montrent qu'à ce moment la vitesse devrait être infinie. Il importe avant tout de montrer que l'origine des coordonnées se trouve bien à distance finie. Voici comment M. Greenhill a résolu cette difficulté. Le point où la vitesse est minimum peut être obtenu par d'autres méthodes et en prenant comme origine des coordonnées le point le plus haut de la trajectoire; calculons ici les coordonnées de ce point; si elles sont finies, notre origine sera à distance finie du point de vitesse minimum, et par suite du sommet de la trajectoire. La formule {ji) peut s'écrire, en tenant compte de l'équation (/?),
X ps pp,îp 3(^j — 2^sin<p-hi).
Prenons la différentielle logarithmique des deux membres
rf(p*) ^ / p — sinç /?' — 2/?sin<p-i-i \
t»' "" \/»' — a/^sinp -+- I p^ — Z p^ ^\x\.^ -\- Z p I
Cette différentielle doit être nulle, ce qui donne {y) /?* cos*ç-l-/? sinç — I = o.
Or le coefficient angulaire p de la tangente peut s'exprimer en fonction de l'angle ^ que fait cette droite avec Ox
sinp ^-cos(ç-P)'
en portant cette valeur dans l'équation précédente, elle devient tang2p = — a cotç,
et donne pour j3 deux valeurs qui diffèrent entre elles de 90°. La valeur positive de tang^ est seule à considérer comme correspondant à la partie utile de la trajectoire. La formule (^') fait con-
128 CUAPITRB VII.
naître la valeur de Uq correspondante {^g- 17)
(ps'iïi^ — 2)» /?* — 4/>sino-f-4
P^ Un — T — r ' •
Cette équation peut s'écrire en tenant compte de Inéquation (y)
4 — 3sîn»©
et enfin, en se reportant à la définition de g^, pag6 124»
jî'îwo^ 3^3;
d'où
Fig. 17.
Or Ja formule (67) d'addition conduit en faisant tendre p vers ^/ à la formule de duplication
>^' "^ 4 P'w 4 4p'w — ^,pa--^j
Appliquons cette formule pour u ■= Uq el g2=^o
9P*"o p2Mo-»-2pWo= ^^? = 3pao.
On a doDc, en désignant par aw, la période réelle,
p2Wo= PM0 = PC^Wj — tlo),
APPLICATIONS HÉCAMQUES. 129
{aa) Uq— -0),,
el, à cause de (c),
Jl fautmetlre le signe — devant y/3 ^3, parce que, enlrezéro etto,, p' u est négative.
La valeur de «o^ et par suite celle de Xq^ est donc finie,/? est aussi finie el il suffît de considérer la formule (/) et de remarquer que P ne s'annule pas, si ce n'est lorsque /? = o, pourvoir que^,, est aussi finie. Il est donc bien prouvé que le point de vitesse minimum est à distance finie par rapport à notre origine des coordonnées.
L'étude plus détaillée du problème nous fournira l'occasion de plusieurs remarques intéressantes :
i" Construction d'une Table. — La remarque suivante a une portée générale : la formule d'homogénéité (6^)
V{u\ o, ^j)= m^plmu; o, -^'^j
permet de remplacer la fonction p{u] f^^ gz) par une fonction j), {mu; o, 1) à condition de prendre
^i=vy3,
cl pour variable u\/ff^ au lieu de u. Nous obtenons ainsi ce résultat 1res intéressant que toute fonction pu aux invariants o et gi peut être, par un simple changement de variable, ramenée à une fonction analogue aux invariants o et i. La formule de transformation est
(85) p{u; o, ^3)=V^p(mv/^3; o, i).
Les deux invariants de la dernière fonction étant o et i , il ne reste (|ue l'argument de variable dans cette fonction dont il est alors possible de construire des Tables a simple entrée.
Ces Tables présentent d'autant plus d'intérêt que dans le cas L. L. 9
IDO CHAPITRE VII.
actuel le discriminant est négatif et que l'emploi des Tables de Legendre est plus compliqué.
Appliquons ce résultat au point de vitesse. minimum : soit pi la fonction à invariants o, i. Nous trouvons, en rapprochant (z)
et (85),
et, comme //«= ô<*>m
2(0,^/^ est d'ailleurs égale à la période réelle zQi de p, u.
Considérations sur le point M^ de vitesse minimum. Intégrales pseudo-elliptiques. — Examinons d'abord un cas particulier : le projectile est censé lancé horizontalement, l'angle <p est nul. Les formules de la page 124 nous apprennent alors que p'i'z=o, ('=:W|, e^ = -» ^3= — • L'équation (r') devient
ely s'exprime ici par les fonctions élémentaires : il suffit de poser
pu = z, pour obtenir une intégrale de fraction rationnelle
w^ ~ ij^ 453—
Il n'est pas utile de développer cette intégrale qui reste évidemment finie pour z = cc.
En comparant l'intégrale elliptique précédente à la formule (r'") dans laquelle il faut faire v = o), d'où Çp = 7;<, on obtient l'identité suivante, qui convient à tous les cas où ^2= o :
l 1 r" du , . , (bb) 3.( J7;7='og3'rcu,-w)-+-«loffcr(«a„-«)
et il ne faut pas oublier que l'intégrale qui figure ici est pseudo-
APPLICATIONS MÉCANIQUES. iSl
elliptique. Le second membre peut être obtenu autrement : pour cela, intégrons par rapport à i^ la formule d'addition des ^ dans laquelle on a remplacé u par — u
\ p'u-hp'v ^. „ „
- ^ = — = Ç(— M-f-p) — Çi'H-Ça,
2 pv — pu
1 pv — pu ^ ^ ^ b
et remplaçons dans celte formule r successivement par ai' et (x?v en nous rappelant que pat^^apr, jD(a2p)= a^pr, jy(a-(^) = p'ai' = p'r, nous avons
/- -^- — — di> = loff a'(a*i' — w)— losro'a't^ — %^vtu, 9. a^pv — pu ^ ^ o ^ »
/I pu -f-p't' , , ^/ , y
-1 '. — dv^los^iav — U) — loffjat' — ^vZu, 'i apv — pu ^ ^ ^
et, en ajoutant les trois équations précédentes membre à membre après multiplication de la seconde para^ et de la troisième par a,
= loga'(i' — a)-+- aloga'(ap — M)-f- a* logo'(a'i^ — m) -4- const.
Pour écrire celte dernière formule, il a fallu aussi observer que par suite de Fhomogénéilé
c'a-// -- oL^o" u.
Supposons que W| soit là limite inférieure de l'intégrale; nous aurons
- / , ' -—pupv dv = i) I —r— -7— pwnt'^r
= log (ï(v — u)-h a\og<f{cnf — w)-H aï loga'(a*t' — u) — Ioga'(oji— u) — a log 3'(aa>i— u)~ a* Jog 3'(a*t0i-- u)
et c'est la seconde identité que nous voulions obtenir. En la com-
l3a CHAPITRK VII.
parant avec (bb), on voit que
Iog3'(v — u) -+- a loger V — u) -^ a' log3'(a*P — ") 9. r" fin ^ r^iMipvdv
et par suite, la valeur de j^, donnée page 126, se présente ainsi
Nous allons appliquer cette expression au calcul de l'ordonnée
du point Mo de vitesse minimum, pour lequel on a z/o= - co,. La
première intégrale étant pseudo-elliptique, le seul terme à envisager est le dernier, que je désignerai par A,
Or, soit d'où
pv= V\if-iz:
Nous aurons, comme C0| est la demi-période réelle pour laquelle
Or, l'intégrale que je viens de désigner par B a été rencontrée par Euler, qui a montré qu'elle se réduisait aux fonctions élémentaires; c'est donc encore une intégrale pseudo-elliptique. Nous allons vérifier ce très curieux résultat.
Les dçux égalités suivantes, dont nous laisserons au lecteur le
APPLICATIONS MÉCANIQUES. l33
soin de faire la vériGcaticn facile, donneront la solution
1 JL\ /4^'^^-^ /3(2j — i) —\/j ^ 3(;; -4-
Il suffit d'ajouter membre à membre et d'intégrer à partir de la
limite jyz pour obtenir B.
B = - log ; — î^ H arc lang -— r.
— -logiv^^ — i) -arctang -Z
Les détails du calcul n'offrent plus d'intérêt et nous nous bornerons à transcrire le résultat définitif obtenu en revenant aux fonctions p par la substitution z = p(v; o^ i),
(ce) ^= |twiTii— 2toiÇi>-^-logpfp--|wi)— ^^-arctangp'^c^---^-wi V
Calcul du temps. — Le calcul du temps donne lieu à des remarques analogues au calcul de l'ordonnée. La formule (s) donne
= / p 3 dp.
L'élément différentiel actuel se déduit de celui qui figure dans j^
en multipliant par — = 3 g ; donc
gt r" pu du
A titre d'exercice, je vais encore înrégrer cette expression : pour cela, reportons-nous à l'équation (c); nous voyons qu'on aura
pu , , , r 3 n ?/. 3 a 11 M 3 a',l>u 1
-P-î = (n't'-hp'w) -7-7-- h H -r—i ^ ^^ •
pv — p'u ^ L^fpi' — P«) !\{ipv—pu) 4(3t*iJt'— J)/0J
l34 CHAPITRE VII.
Or, le crochet peul évidemment s'écrire, en y ajoutant et relran-
chant - (i -I- a -}- a^) = 0,
L'intégration est donc la même que celle rencontrée dans le calcul de^, à des facteurs constants près. Si Ton remarque que 3pv = i, on aura immédiatement le résultat
-— = — loga'(v — u) — a* loga'(ap — u) — ac loga'(ap — u) ~- const.
avec la condition que ^ = o pour « = o.
La valeur de t pour m = - lo, est aussi pseudo-elliptique et est donnée par Tégalité suivante, que je me borne à énoncer :
— = >-^T^i--^wi7îi-h -logp((^ — -w,j -H— arctangp (v — ^tùA.
