IV. — PENDULE SPHÉRIQUE
Le pendule sphérique se compose d'un point matériel assujetti à rester à une distance constante d'un point fixe O, que nous prendrons pour origine des coordonnées, l'axe des >3 étant supposé vertical et dirigé vers le bas. Les données sont : la longueur Z du fil qui retient le point matériel m sur la sphère de centre O, la masse du point que nous prendrons pour unité de masse'; l'accélération g due à la pesanteur; la hauteur initiale du point, Zo] enfin, la vitesse initiale Tq qu'on suppose dirigée tangenlielle-
ment à la sphère et dont on donne la composante suivant O;;, -p-
Nous emploierons des coordonnées semi-polaires, c'est-à-dire
que nous poserons
X = rcos<}/,
r et 'i étant les coordonnées polaires de la projection horizontale { ') Voir ArPELL, Traité de Mécanique, t. I, p. i85.
APPLICATIONS MÉGANIQUES. I 35
du pendule. Les équations du problème seront
OU
(P) riM = cde,
qui est fournie par le théorème des aires, et
qu'on déduit du théorème des forces vives, applicable au cas actuel . L^équation (y) s'écrit
dr* H- r» d^^ -+- dz^ = {h -\- igz) dt^
ou, à cause de (a) et de (fi),
Z^ dz^ C^dt^ , . / «. X , •
iTZTii -^ inr^ "^ ^^ = (^ -^ ^^^) "^^ '
ou enfin, en posant
Cette équation permettra d'exprimer la constante c des aires, en fonction des données g^ '> «^o? ^o et -^ ( * ). Ces données sont telles
évidemment qu'au début -r^ soit réelle; ^o donne donc le signe
(') Eq fait, il est plus commode, pour la discussion, de donner Tangle e que
fait la direction de la vitesse initiale avec la perpendiculaire au plan vertical MgO^,
d'où part le pendule. On a alors
d^ c i'aCOSS = r-=i = - j " dt r
et c'est cette équation qui détermine c. Le cas du pendule simple correspond à
l36 CHAPITRE VII.
plus dans ç(^), — l donne le signe — , -I- / le signe — , -4-oo le signe — . Les nombres — oo, — /, i^o, + /, + oo séparent donc les racines ^,, -Sa, z^ de 'f (^) et, si l'on désigne par z^ la plus grande, par Zx la plus petite, par ^a Tintermédiaire, on aura
zx<-l<z^<z^<z^<l (1).
Il est évident que z doit rester compris entre z^ et z^. D'ailleurs l'écfuation (s) montre que z s'exprimera en fonction elliptique de t\ nous allons faire Tinversion en introduisant la fonction pu qui se présente ici naturellement. Il faut d'abord remplacer ©(s) par un polynôme privé de second terme et dans lequel la plus haute puissance de l'inconnue ait pour coefficient 4- Nous poserons
= IVL
l'équation (e)
devient alors
Q(IVl5-+-
Il suffit de
poser
pour obtenir la forme cherchée
ds r—- ,-
Alors s sera donnée par l'équation
5 = j)(/-ha),
a étant une constante; je ne transcrirai pas les valeurs des invariants g2 et g'a, faciles à calculer.
On aura ainsi pour z Ja valeur
Pour déterminer la constante a, je supposerai que les temps
( • ) On ne peut jamais avoir z^ = — l, ni z,z= l; sans quoi on aurait c rr o, cl I<; mouvement serait simplement plan.
APPLICATIONS MÉCANIQUES. l3j
sont comptés à partir du moment où le pendule est au plus haut de sa course; z aura sa valeur maximum ^3 et en même temps 5 sa
valeur minimum. Mais la valeur minimum de 5 annule ^; c'est la
plus. petite racine e^ de S, et l'on doit avoir
pa = et ou
Si t croît à partir de zéro, z décroîtra [voir variation de pu {Jlg' 3)] et atteindra son minimum pour ^ = w, ; à ce moment s ou p{t -f- Wi) atteint son maximum e^. Donc, à des intervalles égaux à 20)4, le pendule repasse aux mêmes niveaux. Nous savons qu'en vertu de la formule (Sg) on peut écrire
(,, ^=---[et-^ ^^^^ J-^,
et cette formule devra être employée pour les calculs numériques.
Calcul de ^. — Nous allons maintenant rechercher comment varie le plan vertical, mené par O5, qui contient le pendule.
d^ est donnée par l'équation (^), et l'on voit déjà que à varie toujours d'ans le même sens
Posons
u — t ->r- 0)2, z = M p w -h N, comme page i36,
Ces deux dernières égalités définissent a et 6, au signe (et aux périodes) près, et il est bon de remarquer que la série d'inégalités
Zx<—l<Z^<iz<Z:,<l
entraîne
pa< e,<pw <e3<p^< ei;
pour préciser le signe, calculons p a et p^ b. L'équation (ÎJ) nous donne
l38 CHAPITRE VII.
pour w = a, on aura
et la même valeur pour p'^6. On pourra donc poser
ces valeurs imaginaires ne doivent pas élonner, puisque les valeurs correspondantes prises par z, savoir l et — /, sont en dehors des niveaux que peut atteindre le pendule. Avec ces données, la valeur <le d^ précédemment écrite se présente ainsi
2 \pw — po pu — pa/ d'où, en appliquant la formule (89 bis)^
|i"4' = ^ / [ î(/*-+-a) — Ç(w — a) — 2Ça — t(u-^r b) -\-Z{u — b) -\-l^b ] c^M H- const. == -log-7 f-7 j-{ -h w(Ç6 — ;a)-4-const.
La constante sera déterminée, par exemple, par la condition que i^ soit nul pour / = o (m = 0)2).
Il n'y a plus qu'à remplacer u par ^ + 0)2 pour avoir exprimé l'angle J; en fonction du temps. A la vérité, ces formules renferment des imaginaires qu'on aurait pu ne pas introduire en employant la transformation (r,) au lieu de ^ = Mpu-j-N; mais l'écriture est ^ici plus condensée et nous n'avons pas besoin, pour l'objet que nous avons en vue, de faire disparaître les imaginaires.
Supposons que, dans la formule (6), on augmente u de la période réelle 2101 ; à cause de la première formule (29), la fraction qui figure sous le signe log se trouve multipliée par
iij est donc augmenté de *ir^\{a — 6)-|-2(0|(Ç6 — Ça) et cet {iccroissement est évidemment une quantité purement imaginaire /4o> comme on le vérifiera aisément en remarquant que (^fig* 2
et 4) a est de la forme co, -h- ity b de la forme vi^ et en appliquant les formules (4o) et (67) où |jl est pris égal à moins un. On voit donc que le plan vertical MO5, qui contient le pendule, tourne d'un angle % (*) pendant que le pendule effecUie en hauteur une oscillation complète. Ce résultat peut être énoncé autrement : concevons des axes tournant d'un mouvement uniforme autour de O5, de même origine que les axes fixes, de même axe O^ et tels que le plan mobile zOx' fasse avec le plan fixe zOxxyn angle
•}, = ^; puis posons
<' = 'ti-^'V'.
La fonction ^' sera doublement périodique et aura pour période 2tû,.
Remarque. — La formule (6) peut encore s'écrire en désignant par - loga la constante
Mouvement de la projection horizontale. Équation de Lamé. — Nous avons posé
T = rcos<}/, ^ = rsini^;
d'où, en appliquant les formules d'Euler (p. 6),
X = X -^ iy = re^^j \ = X — iy = re-^'^y
•XY.-=ar«-+-7»=rî = /«-5« = (/-.3)(/H-5) = — M»(pw — pa)(pa-j)6).
On voit que r^ est une fonction doublement périodique du temps, de même période que z, z étant compris entre Zo et 53, /•2 variera entre /* — z^ et l'^ — a, et ne s'annulera jamais.
On aura donc, en tenant compte de la variation de ^^ une courbe telle que celles des Jig. 18 et 19.
D'ailleurs, les trois équations rencontrées dans le courant de
(•) Cet angle est toujours compris entre z et 21:. yoir Halphen, t. II, p. 128.
notre élude
r^ d^ — c dl,
,.î = /î ^î (i'où
dz
r dr
dz.
clz I /—
permellent d^obtenir, en coordonnées polaires r et ^, l'équalloii difTérenlielle de la courbe.
Fig. 18.
Cas où les deux parallèles extrêmes sont au-dessous du point de suspension.
Dans le cas des petites oscillations, r© est très petit et ^o très
Fig. 19.
Le parallèle le plus haut est au-dessus du point dç suspension : le cercle extérieur tracé sur la (igure est le grand cercle horizontal de la sphère.
voisin de /, la courbe ci-dessus se réduit sensiblement à une ellipse (Poisson, t. 1, p. SgS).
Revenons au calcul de X et Y : le quotient ~ a pour valeur
APPLICATIONS MÉCANIQUES. I 'j I
r'-'i Cl, comme on a déjà obtenu le produit, on a
\i = — Mte-^^'^ip u — pa){p u — pb).
On vient de trouver e-''^] la formule (Sa) donne
cr(M — a) 3'(// -4- fl)
pu — pa = pu — pu — —
*'u:^'^b Donc enfin
■ l*, ^{u -h a) cf(it — h) Y, y ^ cs-w^a-ib
\ = T — ly = L% *M , r-"^f^-W.
•^ :s"-uifa:^b
La courbe étant déjà discutée, ces valeurs de X et de Y ne nous serviront pas à Tétudier; nous nous bornerons à faire à leur sujet une remarque des plus intéressantes due à M. Hermile (Sur (/tielques applications des fonctions elliptiques),
La dérivée logarithmique de X a pour expression
^ -,- — ;(a-i- a)-+- Ç(a — ^») — ji^a-f- Ç^ — ;«
I p'u — p'a I p'u-^-p'b " 2 pu — pa 'A' pu — pb
On en déduit, en dérivant la première ligne,
ou, en utilisant cette fois la seconde expression de ^ -y^»
\—l-i = '2pu — piu-r-a) ^p(u-b)
I /p'u — p'^\* I /.p'a-hp'^\* I p'u — pap'u-^p'b ^\pu — pa/ 4\p" — pl^J 1 pu^pa pu — pb
La formule d'addition (07) permet de simplifier l'ensemble des cinq premiers termes et, comme p'u =^ p'b^
— /ipu-^pa -\-pb '
X clu^ îi ( j> « — p(i)^ pu — pb }
du''
1/42 CHAPITRE Vil.
Le numérateur de la dernière fraclion s^annule pour « = a et pour II = b] or il peut s'écrire 4(p'" — p'^) — g^{p^^ — pci)e\, comme il est divisible par pu — pa et par pu — pb, on peut le mettre sous la forme
4(pa — pa){pu —iib){pu-^ pa-{-pb).
On aura donc finalement
^=(6pa-f-3p«H-3p6)X=- (^6ptt-6^)x.
De même
Cette égalité ne diffère de celle relative à X que par le changement de a en 6 et de b en a. Or a et b ont disparu dans la dernière équation; donc X et Y sont deux solutions particulières de la même équation linéaire
La solution générale sera donc, d'après la théorie des équations
linéaires,
Z = CX-^C'Y = c.r-hr>,
C, C, c, c' étant des constantes arbitraires.
L'équation (c) qu'on vient de rencontrer est un cas particulier d'une équation très célèbre dite équation de Lamé, qu'on rencontre dans beaucoup de questions de Physique et de Mathématiques. Elle se déduit de l'équation générale
-^ = [n(/n-i)pa-h7]Z
en y faisant /i = 2.
L'équation de Lamé admet deux intégrales particulières de la
forme
^ , a'(M-r flrWCM -4- 6) ... 3'(w-f- /)
qu'on obtient en substituant cette expression dans l'équation de Lamé, pour déterminer les valeurs des n + r constantes a, 6. ...,
/, A. (Voir, pour plus de détails, les Traités d^ Analyse, nolammenl Jordan, t. II.)
Calcul de la réaction de la tige du pendule. — Pour calculer la réaction R de la tige, supposée dirigée du centre O vers le point matériel, il suffit de remarquer qu'elle est égale à la force centrifuge -, augmentée de la projection sur le rayon OM du poids ^ du pendule,
en utilisant immédiatement l'équation des forces vives.
Si la tige est supposée solide, le sens de la réaction sera indifférent, sinon il faudra examiner le signe. Comme z = Mpu -f- N et /i = — 6rt"N, on aura
donc
avec
pa — pb= ^; -j ^fir^Uipu-hpa-^ph) ,. .
Lorsque le temps t varie de o à (U|, ;/ varie de coo à 0)4 + 0)2= — (O3 et pu de 62 à ^3. Dans cet intervalle, la valeur de R croît constamment de la valeur — T^(2e2 — rs) à la valeur — 7^(2^3 — tîj). 62 est négative; si la constante h des forces vives est positive {v^^ — 2^5o> o)? R sera positive au point le plus bas; il est d'ailleurs facile de faire voir que R est toujours positive en ce point. En effet, l'équation des forces vives nous apprend que, si le mouvement a lieu, ç^f et par suite h-î-^gz^ est toujours positive; c'est-à-dire, en remplaçait h par — ôg^N (p. i36),
•2^(;;-3N)>o, MpM--N>3N,
l44 CHAPITRE VII.
Mais il résulte de la déGnilion de pa et pb que
On a donc toujours el en particulier
J3M-|-paH-p6<0
ei-hpa-i-pb < o; a fortiori, puisque 62 est négative,
