V. — ARC DE L'ELLIPSE
C'est la mesure de l'arc d'ellîpse qui a donné son nom à toutes les fonctions de celte théorie : on y arrive de la manière la plus simple comme il suit. L'équation de l'ellipse étant
et 2 c la distance focale, on pose
X — a sino,
y ^ b coscp,
en posant
On a donc
i I y/ \ — /i* siii^p cfo = « E(o),
et ainsi se rencontre, dans ce problème tout à fait élémentaire, l'intégrale elliptique que Legendre a choisie pour type des intégrales de seconde espèce : le module A' prend aussi une signification géométrique puisqu'il représente l'excentricité. Si l'on prend a comme unité, k est égal à c et A' à 6. Les Tables de Legendre, ainsi que nous. l'avons expliqué, donnent les valeurs de 5, pour toutes les valeurs de ç et de l'angle modulaire 6 = arcsinA', de degrés en degrés. [Voir notre Table IIL)
Comme application numérique, calculons dans l'ellipse de demiaxes a = 2 et 6 = y/a l'arc BM compris entre le sommet B du petit axe et le point M d'abscisse i. La limite supérieure de l'intégrale est ici
o = arc sin — = arc sin - = 3o'^ a 2
a^—b^ I k^^ —~— = - = sinîO, d'où ^ 45'\
= 2 / 4/1 sin*(pû?cp = 2 X o.5i2o5 = 1,02^1.
l46 CHAPITRE VII.
Le quart de la même ellipse aurait pour valeur
TZ
/ i/ I — -- sin«oû?îp = 2 X 1,85407 = 3,70814.
C'est le double de l'intégrale complète relative au module sin45". Si, au contraire, on donnait 5, la Table III ferait connaître o, d'où les coordonnées de l'extrémité de l'arc.
Remarque, — A proprement parler, le problème que nous venons de traiter n'est pas une application des fonctions elliptiques; mais il n'était pas possible de passer sous silence le problême dont l'étude a conduit à tant de belles propriétés.
Au surplus, ce sont les fonctions elliptiques, et non les intégrales elliptiques, qui sont réellement maniables, de même qu'en Trigonométrie ce sont les lignes trigonomélriques, sinus, cosinus, etc., et non leurs inverses qui sont le plus utiles dans les applications. Nous allons ici même en donner un exemple.
Effectuons d'abord l'inversion en introduisant les fonctions de Weierstrass et, sans entrer dans le détail du calcul, posons immédiatement ('), comme il est prescrit au Chapitre V,
sinç =
avec les valeurs
on trouvera pour l'arc
Mais la formule (39), si souvent employée, donne
Ci — gi p(?^-ha)8)— e^ ' pu — Ci Ci— ex
(') Il est bien entendu que a, 6, c représentent duns ce qui suit des nombres absolus et non des longueurs.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. llq
On a donc finalement
5 = eiM-i- Ça -+--
•2 pu — 6%
u est un argument compris entre o et o)|.
Remarquons en passant que, si Ton remplace s par sa valeur aE(îp) trouvée au commencement de ce problème, on retrouve la formule (83 bis) :
aE(9)=eiW-hCMH ^- •
* • ipu — ei
Théorème de Fagnano. — Cela posé, considérons maintenant un arc s^ ayant son origine au sommet du grand axe. Pour cela, comme c'est j^ qui doit s'annuler en même temps que 5, au lieu de x^ nous poserons, conformément aux indications du Chapitre V, p. 82, et en désignant par x\y les coordonnées de l'extrémité M' de l'arc 5',
COSO :
^ V^w; e„ ej, ^3)— 63
et il se trouve que c'est précisément la fonction pu aux mêmes racines que dans le calcul de l'arc s précédent, comme on peut le vérifier facilement. On aura alors
s = b^ I ^ — ^^^-^du = eiU- J.. pu — e*
1 pu
Si de cette valeur de 5' nous retranchons la valeur de s obtenue au paragraphe précédent et si nous convenons de prendre les arcs qui correspondent à la même valeur de w, nous trouverons
f I ( ^3 — ^2 ) p' w ~~ ~ 2 ipu — eî){pu — ei/
l4B CHAPITRE VII.
OU, à cause des valeurs des racioes et de p'w,
a (pu — ei){pu — e3) y (pu — ei){pu — e^)
II s'agit d'interpréter ce second membre en revenant aux coordonnées cartésiennes : pour cela, on peut faire en sens inverse les deux substitutions qui viennent d'être employées. Utilisons d'abord la première
d'où
pa— ^s= — -hcj-e5= --r — cî =
a'* ^ a* — c*.tS
a;t ' -- -"- ar« x^
On en conclut
6 y^a^ — c2 37^ yja> y'^ -+- ^^ x*
Il est évident, à cause de la symétrie des calculs précédents, que la deuxième substitution aurait conduit à l'équation
par le simple échange des lettres a: et y, a et t. L'interprétation géométrique est maintenant immédiate : le second membre représente la distance du centre à la normale au point x^ y (ou x'^y) et l'on a ce théorème :
Soient K et h les sommets du grand et du petit axe, AM ^et BN deux arcs d'un même quadrant tels qu'à leurs extrémités les normales soient à une même distance l du centre, la différence des arcs AM et BN est précisément égale à L
