VI. — AIRE DE L'ELLIPSOÏDE
Ce problème a été également traité par Legendre qui a donné pour expression de l'aire {Exercices de Calcul intégral, t. I,
8S = 2irc«H : — -;F(^ , v)H z— E(6', v) ,
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. j49
a, 6, c sont les demi-axes de l'ellipsoïde, a> b> c^
cosv = — , ^'î= ___—-,
a c>* sin^v
F{b', v) et E(6', v) sont respectivement les intégrales elliptiques de première et de seconde espèce qui correspondent au module b' et à l'argument v.
iNous allons arriver au résultat par une méthode bien plus rapide que celle de Legendre, en utilisant les fonctions elliptiques de Weierstrass. Soit
Téquation de l'ellipsoïde (E); je vais évaluer l'aire 4S comprise entre le plan des xy et le sommet de l'axe mineur c, et d'abord l'aire 4Sç comprise entre ce sommet et une courbe tracée sur la calotte elliptique précédente de manière que les normales à l'ellipsoïde le long de celte courbe fassent avec l'axe O5 un angle constant ^, J'appellerai h le carré du cosinus de l'angle 6 que fait avec 0<3 la normale eja un point œ^ y, z quelconque de Tellipsoïde (E)
h = cos«e =
La courbe le long de laquelle l'angle est constant se projette sur le plan des xy suivant l'ellipse
Soit d^ l'élément d'aire de l'ellipsoïde compris entre deux courbes infiniment voisines qui correspondent aux valeurs h et h 4- dh du paramètre; la projection de cet élément sur le plan des xy^ savoir rfo-cosO, s'évalue facilement : elle est égale à la différentielle de l'aire de l'ellipse précédente. Les carrés des demiaxes de cette ellipse sont
. ^^ ^(1-/0 aHi -II) b^{i - h)__
• . - .. y ^- c2/i-f-6Hr-/i/
aHi
— II) aHi-h)
-ii^
l50 CHAPITRE VU.
L'aire de celte ellipse aura pour expression
= r/ÂB = 7:
aiéî(i/i)
V^[c«A-+-a4{i — /0]lc»A -^ 6^1 — à)]
ei en difTérenliant on obtiendra Téquation
, diù
cos6
0'=/ jr-l k) — — sinOû^O,
J^ cosO \cosO/i J^ cos*8
Tra«^>«(i-~ A)
,,, / (i-h)dh
-hr.a^b^ I ^
Le coefficient différentiel s'écrit, après multiplication par
(i — h)dh
Posons
■V"["-=r^Jf'-î^]
^''~ 3 Va» — c« "^ Ù^^^^J "" 3 («2— c»)(6*— c>)' p* = a*&*-f- a^c*-^ 6*c*,
h = pu Ci'y
le coefficient différentiel devient
(i -+- ^î — pu) du
et les limites sont pour u une valeur ^/q telle que
puo = i-h et et w.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l5l
On aura dooc, en laissant h dans le premier terme,
v/[cî/t-Ha«(i — A;][cSA-h62(i — /i)j/Â
Mais il faut remarquer que i + e^ est compris entre ea et ^3 ; pw devant être compris entre ces limites, a aura la forme (02+ (^ et il convient de faire la substitution
M = Oij -h V
pour éliminer les imaginaires. Alors l'équation
se transforme en
OU
et l'intégrale
-- ï4^ Jf^ {pv'-pPo)rf^
-[(Po— t')pt'o-+-Ç^'o— î^].
Les arguments i^ et v^ sont l'un et l'autre inférieurs à w, . On aura donc finalement
/[c* A -h a»(i — A)] {d^h -h 6»(i — A)] h -.-^/(a*— c»)(62— c*)[(Po— «')pt'o-+- Ç^o— Çf]-
Pour avoir la surface totale du demi-ellipsoïde que Legendre appelle 4 S, il faut faire A = o, ^^ = 0. Les deux termes infinis sont
T^ab
T,,Ji^a^^c^)i^b^-c^)X.^, y/h
dont le premier s'écril
Tzab Tzab
= i: /(a* — c*) (^-— c») /pt; — Cj.
Il a donc la même valeur principale que le second terme infini et les parties infinies se détruisent; les autres termes de Ç^' s'annulent
pour i» = o et, le multiplicateur de ^^-^ étant de la forme
i4-/wAh-..., le premier terme de a- disparaîtra entièrement quand on fera A =: o. Il reste donc
4S = T v^ia*— c«)(62— c2)((;o|Ji'oH- Çt'o)
avec
Je vais, de la formule précédente, déduire celle de Legendre, donnée au début de ce paragraphe. La formule (63) donne
snPo y/^\ — 6?î =
le second membre est la quantité appelée sinv par Legendre. Le module s'obtient par la formule (62)
ei — <?j b*{a^— c*)' C'est donc la quantité b' de Legendre, et l'on a
La deuxième formule (83) donne ^{vo)
or
donc
— cotv-
2 pt^o— Cj /6«— c*
APPLICATION ALGÉBRIQUE. l53
On obtient ainsi
i S = Tic^-h 7c r^» v/as— cîE(6', v) H- --i^L= F(6', v)1 . L y/a^ - c* J
L'identité de cette formule avec celle de Legendre se vérifie sans peine.
Dans le cas de Tellipsoïde de révolution, cette formule devient
8S = 27îa*H ; lOg : i
sinv ° I — sinv si Tellipsoïde est aplati (a= 6), ou
ç, iT.ab , . .
8S = —. (v -+- sinv cosv),
sinv ^
si l'ellipsoïde est allongé (6 = c).
VII. - RÉSOLUTION NUiMÉRIQUE D'UNE ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ.
La méthode indiquée pages ^9 et suivantes pour l'inversion d'une intégrale elliptique constitue une véritable méthode de résolution de l'équation du quatrième degré. Bien qu'il existe des méthodes beaucoup plus courtes, nous allons en donner une application numérique à titre d'exercice et parce que nous rencontrerons, chemin faisant, la plupart des calculs qu'on peut avoir à faire dans les applications des fonctions elliptiques.
Expliquons en deux mots la méthode : par de simples changements de variableSy on peut toujours mettre un polynôme Y du quatrième degré en y sous la forme [p(w + ^) — P^^Y' ^^ résolution de l'équation Y = o est ainsi ramenée à celle de
l54 CHAPITRE VII.
qui donne immédiatement
i u = h /«itOiH- /WïWj (^ = Cl— Ci)y
On en déduit facilement les quatre valeurs de y en donnant ù /«i et à ^2 les valeurs o et i .
Nous prendrons comme exemple l'équation
ar* — 20^3— ioar*-+- iZar — C = o, qui, par la substitution jc ^^ ^ -+- -, devient
fV^<î^ 12^-4--^^ =o, 2 l6
et il n'y aura plus qu'à poser
2 pu — pV
pour que l'équation précédente soit ramenée à Téquation (A). On a alors, en reprenant les notations de la page 8o,
o 2 12 ib
^,= ti4-+-3a| = —,
Il s'agit maintenant de résoudre l'équation auxiliaire du troisième degré
Le discriminant A a pour valeur il est positif, donc les trois racines sont réelles, et l'on trouve
APPLICATION ALGÉBRIQUE. Id5
facilement, par une méthode quelconque,
ei^- 1,49236, Ci — .— 2,o83333, es^ 0,590973.
Calcul des périodes, — Cela posé, nous allons d'abord calculer les périodes de la fonction p{u; e4,e2?<?3), suivant la méthode exposée au Chapitre VI. On a ainsi
X —51 — ^2=3,575693, logX — 0,553 36o2,
d'où Ton tire, par un calcul ordinaire de logarithmes,
La Table I fait alors connaître K
L'intégrale complète relative au module complémentaire correspond à l'angle complémentaire 3o", i38 et a pour valeur
Calcul de r. — Il faut maintenant calculer l'argument v^ donné par les formules {g) et (A) de la page 81 :
Des deux valeurs de v comprises entre — (0| et -f- w,, données par l'équation J3P = — > il faut prendre la négative parce que p'r est positive.
La formule (63) donne
snp /A = — ^ = — sino.
Un calcul ordinaire donne pour cp la valeur o = 70«59'32',4.
l56 CHAPITRE Yll.
Il s'agit d'en déduire v ^^; nous lisons dans la Table II, au croisement de la ligne qui commence par 70° et de la colonne qui commence par 55**, le nombre i,44840' Pour obtenir la valeur de v\/\ qui correspond à 6 = 69**, 862 et à cp == 70** 59' Sa'', je vais d'abord établir une formule d'interpolation ; appelons X une valeur quelconque de 0, Y une valeur quelconque de cp et Z la valeur correspondante de ç'y/X. Z sera une fonction de X et de Y représentée par une certaine surface; la méthode d'approximation par parties proportionnelles étendue à Tespace consiste à traiter cette surface comme un plan. Soient alors
Uq la valeur de Z. . .
pour X = a"
et
pour X = a'-h à**
et
pour X = a**
et
l'équation du plan, passant par les trois points particuliers dont les coordonnées viennent d'être écrites, sera
Z — «0 = ( wi — Wo) — ^- •- ( Wï — wo) — j-^ — ;
d'où la règle suivante :
L'accroissement de la fonction est égal à la somme des deux accroissements que fournit, pour une variable, la méthode des parties proportionnelles lorsque, laissant 8 ou o invariable, on fait varier Vautre de ces deux quantités.
Appliquons ici cette rùgle; on trouve dans la Table
1/1—1/0=0,04601, aj— wo= 0,02747, •
et nous avons
X — a = 4% 86?., \ — b =^o\S^'tx''= o^jqSq:
Le signe moins qui précède p'\A a déjà été expliqué.
Calcul de p-- — La marche inverse nous donnera p
ÀPPLIGATlOTf ALGÉBRIQUE. iDy
On trouve dans la Table le nombre 0,75862, correspondant aux valeurs suivantes : 6 = 55", cp, = 4»®. La même règle d'interpolation nous donnera, pour ^4, une valeur plus approchée; on a, dans ce cas,
Y-6= J^ili- ."--"\ (X-a).
Ui — Mo :> ( Ui — I/o )
Mais la valeur de Y — b ainsi obtenue est négative; pour éviter une correction négative, qui, d'ailleurs, serait acceptable, prenons dans la Table le nombre 0,73801, qui correspond aux. valeurs suivantes : 6 = 55°, «1 = 4o®. On a alors
M, — £/j= 0,00557, Ui — Mo =0,02061, X — a =4"î862, Z — ao=o,022i5.
On en déduit
Y-6 = 48'4'/, cp,= 4oM8'42', logsin<pi = 1,8152953,
log (p^^ — esj = lugX — 2 logsin9i = 0,9227696,
if p ei= 8,37085,
pI =6,287517.
Calcul de la première racine. — Dans la formule (C), remplaçons u par — - ; elle devient
et Ton aura
Il n'y a plus qu'à calculer p'-y qui sera donné par la formule
''''î=^VK -"){pI-'')H-'')'
l58 CHAPITRE Vil.
dans laquelle aous avons pris le signe plus parce que - est compris, comme r, entre o et — 0)4. On trouve ainsi
et, en substituant dans /, toutes les valeurs calculées,
xi— —■ 3,3o2.
Calcul de la deuxième racine. — Il faut, dans (C), remplacer u par — - -f- Wi .
Or la formule (09) donne
et Ton obtient ainsi p ( — - -\- tùA par de simples opérations algébriques dont il est inutile de donner le détail
Il ne reste plus qu'à calculer p' i f- w, j et la seule difficulté dans ce calcul, qui est aussi algébrique, est la détermination du signe de p' l — - 4- (0| 1; Targument étant compris entre w,
et 2 0),, la fonction pu est croissante et la dérivée positive. On trouve alors
et, en portant la valeur de «/ = — - -f- o), dans la formule (C)
/j-r 9.,5o5, Xi= 2,oo5.
Troisième et quatrième racine, — Ce calcul n'offre d'autre intérêt que d'introduire la période imaginaire; mais les valeui^s
APPLICATION ALGÉBRIQUE. J Sg
de pu et de p' u sont encore réelles, comme il est facile de s'en assurer. La formule (09)
(e, — cj)(ej— c,)
fera connaître pi — - -i- Wg j
L'argument étant compris entre w^ et a>2 + tO|, on voit (p. 63, Jig. 3), que p' l h 0)0) est positive
Il en résulte
Le calcul de la quatrième racine ne donne Heu à aucune remarque intéressante; elle correspond à la valeur de l'argument
u ^= — P -h (1)4 -h 0)2, et, par conséquent, est reliée à x^ comme JC3
à x^. Les valeurs exactes des racines sont
- 3 - /TÏÏ — 3 -f- v/T3
Exercices sur le Chapitre VII.
1. Soient Ui, Ux les argumenls correspondant, dans le problème III, à deux points où les tangentes font, avec la tangente en Mo, des angles égaux. Démontrer que
2. Donner la valeur de la quantité désignée par i^^ (p. i38) et montrer que ^^ est supérieur à t:.
l6o CHAPITRE VII.
