Intégrer l'équation

qu'on déduit de l'équation de Lamé en y faisant n = i.

4. Montrer que l'équation de Lamé, dans les notations de Jacobi, peut s'écrire

5. Étudier les mouvements à la Poinsot {voir Halphen, t. Il, Ghap. II). Les équations du problème sont, en désignant par m^ p^q, r la rotation

autour de l'axe instantané et ses composantes par rapport à trois axes rectangulaires liés invariablement au solide,

cJ^(.B-A)/>9=o,

avec

A, B, G sont des constantes.

On en déduit, h et k étant des constantes,

A/?« -r-B^î -4-Cr2 = h, Aî/?2 -h B* <7« -f- G* rî = k^- ;

d'où facilement une équation de la forme

^ = /2/?s^Vî = — 4(w2— aj5)(a>«— cu})(w«— wî).

La fonction pu s'introduit d'elle-même, et l'on a p—PQ}/pu- €u

r =-- Pq y/pu — 6'3, les équations du lieu du point de contact de l'ellipsoïde central avec le

APPLICATION ALGÉBRIQUE. l6l

plan ûxe sont, pour le lieu sur Tellipsoïde (polhodie),

A2a7«-f-B27Î-r-G»5«= ~Lï,

L étant une longueur constante; et, pour le lieu sur le plan fixe, p et <p étant des coordonnées polaires,

p«=— r-(pp-pM),

k '± J pv — pu

n etpt^ sont aussi des constantes fournies par la discussion.

Dans la notation de Jacobi, p^ q^ r sont, dans un ordre à déterminer, proportionnelles à snif, cnu, dnu.

6. Étudier et discuter le problème du pendule sphérique avec les notations de Jacobi (TissoT, Journal de Liouville, i852). On pose dans Téquation (e)

et Ton trouve

7. Exercice sur le pendule sphérique (Grebnhill, traduction de Griess, p. 374). — Dans le cas particulier où Ton a en même temps ^o= o, £ = o (t^o horizontale), c'est-à-dire lorsque le pendule est lancé horizonta-

lement au niveau du point de suspension, l'expression ^ j ^ est pseudoelliptique et, si Ton pose

z — /cos6, on a la relation

sinÔsinfo;— -^A =. --^/cosO;

dans ce cas, contrairement à ce qui se passe dans le cas général, Xj y, z sont toutes les trois des fonctions doublement périodiques du temps.

8. Évaluer Taire de l'ellipsoïde en employant, au lieu de la substitution employée dans le texte, la suivante