L. L. II
l62 CHAPITRE VU. -- APPLICATION ALGÉBRIQUB.
On trouvera
P 8S = •2it-^=(ÇaoH- Wo) v/3
avec la condition
puo=i.
Les racines qui déûnissent pu sont
36«cï 3aïc» 3a«6î , ^ ^ x
(Résultat communiqué par M. G. Humbert.)
DEUXIÈME MÉTHODE DE CALCUL : EMPLOI DBS SÉRIES. l63
DEUXIÈME MÉTHODE DE CALCUL : EMPLOI DES SERIES. — CALCUL DES INTÉGRALES COMPLÈTES DE q ET DES PÉRIODES. - CALCUL DES FONCTIONS ELLIPTIQUES DE Ça, DE (Tw, CONNAISSANT a, ET PROBLÈME INVERSE.
Calcul des intégrales elliptiques. — Le développement en série de (i — k'^ sin^cp) ^ permet d'écrire
en posant
et Ton sait calculer cette dernière intégrale par voie de récurrence. Si cp = -, on a l'intégrale complète de première espèce
Mais ces deux séries ne seront utilisables que si k est petit; si k est voisin de l'unité, on pourra poser
Il en résultera
(i — X:*sin5©) * = (cos*o -+- Ar'« sia«cp) *= / i .. ^'î tang«ç -h . . . )
l64 CHAPITRE TIII. ^
et
(b) F(ç) = Jo-Jj,A-'« + ...4-(-i)»i:^^^^^^
en posant
Enfin, si k n'est ni très petit, ni très voisin de Tunité, on pourra, par une transformation célèbre connue sous le nom de transformation de Landen, remplacer l'intégrale elliptique par une autre dont le module soit plus avantageux. Notre but n'étant pas de nous étendre sur le calcul de ces intégrales, nous nous bornerons à indiquer la règle, renvoyant pour la démonstration au Traité d'Analyse de M. Jordan, t. II, p. 112; soient if un angle
tel que
sin(2'j/ — o) = ^sin<p
et A*! un module relié à k par la formule qu'on appelle Véchelle des modules, on aura
r^ df ^ 2 r* d^
sin>4^
Le nouveau module est compris entre y/ît et i; on calculera de même un module ki compris entre y/A*! et i, et Ton finira ainsi par obtenir un module assez voisin de l'unité pour pouvoir utiliser la série (6). Remarquons d'ailleurs que si /:= 1, on a une expression qui s'intègre par les méthodes élémentaires; on trouve
x = sin©=^ — •.
On pourrait aussi passer du module A*! au module k et remonter l'échelle des modules en sens inverse jusqu'à obtenir un ^module assez petit pour pouvoir employer la série (a). Je n'insisterai pas sur ce sujet, qui présente surtout un intérêt historique.
DEUXIÈME MÉTHODE DE CALCUL : EMPLOI DES SÉRIES. l65
Remarque. — Si /r = o, on trouve îmmédiatemeDt X = siacp = sinw.
Calcul des constantes et des fonctions de Weierstrass ( discriminant positif) .
Calcul de q. — Daos le cas où les trois racines sont réelles, il existe une période réelle o)| et une période imaginaire ci>2, et les fonctions constituées avec ces périodes sont bien celles d'où l'on a déduit la fonction pu aux racines ôi, e^^ e^- Nous allons d'abord calculer la quantité q
Cette quantité est réelle et plus petite que l'unité, pourvu que — - soit négatif et cette dernière condition peut toujours être remplie par un choix convenable des signes des périodes. Je vais même montrer qu'il existe toujours, sauf à intervertir les deux périodes que nous avons adoptées, une valeur de q inférieure à -• On sait en effet (48) que
K )/ex — ct
Or, en appliquant le théorème de la moyenne u est le maximum de , c'est-à-dire
donc De même
yfT^^ /^
A- 2 ^ei — et
iK'
l66 CHAPITRE VIII.
et
m étant le minimum de ■ , » c'est-à-dire i.
On tire de là
ic ci)s i r K' (Ui ~ K '
1CCi)|f
Or, des deux modules A* et k'^ l'un des deux est toujours supérieur à -^y et nous allons préciser dans quelles circonstances ce fait se produira; concluons d'abord que, dans ce cas, on aura
Revenons à la recherche des conditions pour que k' soit supé-
eur à -rr» ou, ce qui
avoir, formules (62),
rieur à —^ ou, ce qui revient au même, supérieur à k. Il faudra
et, comme e^ — e^ est positif,
ae8<gi-He,,
la racine intermédiaire e^ devra donc être plus voisine de la racine négative e^ que de la racine positive supérieure e<. S'il n'en était pas ainsi, on considérerait, pour un instant, la fonction
Px{v\ —eu —Ci, —63), dont le module complémentaire est /:, qui remplirait les condi-
tiens voulues {voir p. 60) et dont le lien avec pu est si simple; appelons alors^pour un instant 20)', la période réelle, 2(o!j la période purement imaginaire de cette fonction, la quantité
sera réelle et inférieure à -• Mais on sait [formule Çk)^ Chap. IV] que Ton peut prendre
(ï)j= — Hi)i, a)j=-^KOj;
le rapport précédent aura donc pour expression e ***'(*) et l'on voit que parmi les périodes constitutives des fonctions et p il en existera bien encore deux, l'une réelle, l'autre purement imaginaire d'où découle une quantité q inférieure à ~; seulement la
période réelle figurera au numérateur de l'exposant au lieu de figurer au dénominateur et la fonction constitutive Q sera différente de celle employée dans le premier cas.
Cela posé, une des deux formules (m) du Chapitre II, combinée avec (12) et (i3), permettra immédiatement d'obtenir q [cette formule (m) peut facilement être déduite des formules (62), (58)
et(i7)]
i/ ei — gg ^ ^ ^ ^2(0) ^ x — i q-T-T.q'^-h.., ^ \ Ci — et 03(0) I -4- 27 -h 29^-4-. ..
D'après ce qui précède on n'a plus nécessairement ici
mais ^3 est toujours la racine intermédiaire, e^ est la racine la plus voisine de e^,
A la vérité le signe du radical serait ambigu, mais comme q est petit, le second membre est certainement positif, et il faut prendre
( ' ; L'inégalité c ^ < 9, entraîne tt- < i; H est donc clair que — est plus grand
que I et, par suite, e *''>9. II n'y a donc bien qu'à renverser les périodes pour
obtenir une valeur de q inférieure à -•
l68 CHAPITRE VIII.
le signe -j-. Nous pourrons même, puisque nous cherchons la racine de cette équation qui est inférieure à -> négliger dans la fraction tous les termes qui sont à des puissances supérieures à la première et Téquation se réduira à
Calcul des périodes w< , W2, Ti, , 7^2- — A partir d'ici il va falloir distinguer deux sous-cas :
!** k'> k f g8< ^'""|"^* j. La valeur de gr, donnée par l'équa-
tion précédente, correspond à la valeur e *^' .La formule (45) donne alors
V «1 — et yjex — 6% /ci — ej
et, puisque q est connu, on a immédiatement
rzzLg,
ojj — — i — Lqj
le signe L désignant un logarithme népérien. A la vérité le logarithme ayant une infmité de déterminations, cette équation donne pour CO2 une infinité de valeurs; mais une seule est purement imaginaire, c'est celle qui correspond à la valeur réelle hq. On trouvera à la fin du Volume une Table des valeurs de logarithme ordinaire de q.
La formule (28) donne t^i
et la formule (aa) 'f\2
2" k' <,k. — Dans ce cas la fonction 9 est constituée avec les
constantes y = e * et — 0)2. Mais alors les hypothèses faites page 54 ne subsistent plus; au contraire, comme Wa est purement imaginaire, et prend la place de cof , on aura, par suite des formules {s') du Chapitre IV,
Les indices i et 2 se trouvent donc échangés tant pour les périodes que pour les racines et la formule (45) fait maintenant connaître la période imaginaire
La formule q z=e **** donne w
0),=^ i~log^,
les formules (23) et (aS), tj^ et t,2
CD, e'^(o)
Calcul de snu, en m, dnw. — Les formules (46) donnent les valeurs des fonctions de Jacobi pour chaque valeur de u. Les fonctions 9 seront toujours remplacées par leurs développements (10, II, 12 et i3) en série trigonométrique, et dans ces développements il suffira toujours de considérer un, ou au plus deux termes en q.
Calcul de'^Uj^Uy pu. — C'est encore la définition qui suffira pour du
Pour avoir <^u, on recourra à la formule (34), qui d'ailleurs se déduit de la précédente par dérivation logarithmique
^ (Dj 6m
La formule (58) fournit la valeur de pu
pu = ea-^ ( -^ — r — ) .
et l'on choisira pour a la valeur i, 2 ou 3 qui semblera plus commode pour le calcul.
Remarque. — Dans le cas où u est très petit, il est possible d'obtenir les valeurs des fonctions de Weierstrass en fonction des invariants par des formules directes. Nouis avons vu, en effet (43), que
d'où
p' M = -t- 2 Cs M "!- 4 Cfc «• H-
Or
p'«a = 4p5M — ^îpw -^3;
on a donc, en égalant les termes en — et constant,
Ci= » C3 = — -1
et les autres coefficients Cc, Cg, ... s'obtiendront à l'aide de l'identité
p'tt = 6pîM— i^j,
qui fournira une relation entre deux coefficients successifs. On trouve ainsi
p„ = .L + ?l „.^ Eî „..^ ^ „.^. ^^lEl^ „.+. . . .
Ut 20 28 2^i.jS 2^.:>.7.II
En intégrant on aura successivement Ça et du
ru-^ '?l^a^^-^'- 11^ ^' — U^ ^A^^— u». . .
^ u 2^3.5 2«.5.7 1^,6. 'ùK- 2^3.5.7.11 '
du- u ^— a« ^'"* — w ^-^ — w» ^^ — u»»-r-.. .
2^3.5 29.3.5.7 2«.3*.5.7 2'.3«.5*.ii
Les constantes qu^auraient pu introduire ces deux intégrations successives sont déterminées par la condition que Ça s'annule pour w = o et que la valeur principale de rfa soit u pour u infiniment petit.
Deuxième remarque, — Dans les mêmes conditions, c'està-dire pour u très petit, on peut obtenir le développement des fonctions de Jacobi en fonction du module k^. L'équation d'où nous partirons est l'équation (64)
dans laquelle il suffît de remplacer x par un développement de la forme
pour obtenir les valeurs de C|, C2, .... On trouvera ainsi
Cl = I -h X:»,
C4 = I -+- 5478X:*-T- iiîSXr^Q -+- A-*) H- A»,
De même si Ton pose
on aura
en M = I — rti h aj — -; y
dn W = I — /i - - -h /j ;r— , 1
rf, = l-4-(2^)^
d,,= I-hI02(2/c)2-|- 57(2Aj*-+- (2it)6, .•••• ....^
/, = Ar«(X:'+-2«),
/j=Al(A-»+ll.2«A-5-t-'2*),
172 CHIPITBB TIII.
On peut remarquer que, si l'on néglige les puissances de u su-
.1 • •, / 1 ^ sin(a V^i -h A*)
périeures ala troisième, snw est éeral a — -- > en m a costt,
^ ' ^ ^i-hA:*
ànu à cosA'i^.
Problème inverse. — Connaissant pu^ calculer u.
Il s'agit de résoudre l'équation
px — a.
De la formule (58) on déduit
v/p77— gj __ ^tu 6s(o) ^ /jf^iT-^r, "Ô, a 6,(0)' d'où
^ ' e,(a?) ej(o) V « — «3 "^ '
Je suppose d'abord a réel et plus grand que les trois racines. Nous savons alors qu'il y aura une infinité de valeurs réelles dex satisfaisant à la question (Jig'. i), et si, pour préciser, j'appelle Xo la valeur comprise entre o et (0|, toutes les autres seront données par la formule
(d) X = dzxQ-^2mib)i;
il suffirait d'ajouter 2/712(1)2 pour avoir toutes les valeurs imaginaires. Gela posé, dans l'équation (c), remplaçons ^2{^) et 83 (^) par leurs valeurs tirées des équations (12) et (i3)
ira? . 9.710? ^ 3tzt
I — ^g COS h 2ûr* COS 2<7» COS 1-. . .
TZX , ^TZX „ iTZX I -H '2 7 COS h 2 ÛT* COS h 2 ûr* COS h . . .
Si le module est inférieur à -- > <7 sera inférieur à - et 2 <7* cos -^
v/a ^ 9 ^ wi
à 2 -^;; l'équation précédente peut donc être réduite à la suivante, où Ton a supprimé le signe —, évidemment inadmissible,
