I -t- 2 7 COS

d'où l'on lîre

^'^ ^ ci)i 2^ 1 -h Al

cette équation donne bien toutes les valeurs fournies par la formule (rf).

Nous avons supposé le module A" inférieur à l^\ dans le cas contraire, puisque (1)2 joue maintenant, dans la définition des Q, le rôle de Wi, la formule (c) s'écrit

( 'Rix __ 7C/jr \ / a TC /• .r ^ tîli J \

r -H 1 .1 Jfc * JC \ I fl\l .1." Z 71 ( Jl' \

avec

— TTI -

Or on sait que l'équation px=^a admet une racine et une seule, comprise entre zéro et (0| ; pour cette racine x, on aura,

comme ^ est positif,

OkTZlX (1),

21C£Uii

tir».»

donc le troisième terme de l'équation précédente est inférieur à <jrM I + -^ h et, par suite, avec une approximation égale à ^ environ, on pourra réduire l'équation à

(ttf r TT/r X

( TtiJC "R I .r \

ou

TCix ICi.r

Cette équation fera connaître deux valeurs inverses l'une de l'autre pour e **** ; il leur correspondra deux valeurs réelles pour x

174 CHAPITRE TIII.

deux à deux égales et de signes contraires qui conviendront l'une à Taulre. Si, par exemple, on a

Wir

on trouvera

—.La =ziia7o.

Supposons maintenant a compris entre les deux plus petites racines e^ et €% {^e^> e^^\ on sait que (02 désignant la période imaginaire, il existe pour x des solutions de la forme tù^-\-y* La formule (Sg) permettra d*oblenir y par la méthode précédente, car on aura

pr = «»-^

= ejH = o.

a — Cî

Si a est inférieur à la plus petite racine ou compris entre les deux plus grandes, on posera jî = iy et Ton déterminera y par Téquation

par application de la formule (67); — a sera supérieur à la plus grande racine ou compris entre les deux plus petites. La méthode précédente s'appliquera donc.

Calcul des constantes et des fonctions de Weierstrass {discriminant négatif).

Nous avons rencontré, si les racines de 4^' — g2^ — gz = o ne sont pas réelles toutes les trois^ une difficulté qui tient à ce que les périodes réelle et purement imaginaire ne peuvent plus servir^ à constituer une fonction 6 d'où l'on déduirait la fonction pu définie par l'équation

(g)' = 4^' --fi --fa.

Nous avons vu, page gS, que, dans ce cas, les périodes fonda-

mentales à choisir étaient les quantités définies par les formules

6)j -t-(Dt

Wl Wj

^j= 3ei-i-2H,

Ce sont les constantes constitutives de 6, et Ton aura

Si donc on calculait q par les méthodes indiquées dans le cas des racines réelles, c'est cette valeur que nous obtiendrions ; elle est imaginaire, ainsi que co' et w''. Nous allons parvenir aux valeurs de (1), et 0)2 par des séries réelles, en procédant comme dans le Chapitre VI. On vérifie aisément {voir exercice 1, Chap. VI) que, si l'on pose, en conservant les notations de la page 90,

__ ^rt—rs

et enfin

la fonction pu aura pour périodes réelle et purement imaginaire les moitiés des périodes réelle et purement imaginaire de pu. En d'autres termes, si l'on appelle aw^ et 210'^ les périodes de pw, on aura les relations suivantes, où nous avons fait figurer à nouveau les périodes primitives de pu,

2t»), = (1)1 = Oj'-h w", 2(i)j — 0)2 " Ci)'-T (1)",

(') Les relations entre les périodes peuvent s'écrire : 2U)' — 2(1)', -h 20)2, 2(1)" = — 20a' -h au j,

et l'on a ici un exemple du problème de la transformation, qui consiste à chercher des relations entre des fonctions pu k périodes déduites les unes des autres par des substitutions linéaires : la transformation ici est du deuxième ordre, parce que le déterminant de la substitution a pour valeur 2.

176 CHAPITRE YIII.

Les périodes aco', et ito^ étant évidemment primitives pour pw, les méthodes données dans le cas des racines réelles subsistent. Ainsi posons

et, pour fixer les idées, supposons

k\<l (e,>o), on aura

'• i-v-)/k\ •2w, = oji - ±it-— éd== -m^t: ^ ^ >

les fonctions étant constituées avec les périodes 20), et aw^,

(1)1 = — i — hq .

Pour avoir les constantes t^i et 7J2, je vais chercher leurs relations avec les constantes tj'^, r{^ relatives à la fonction pu^ constantes données à la page 168,

Intégrons la relation {g) et déterminons la constante de manière à n'avoir pas de terme constant dans le second membre ; il vient, en se rappelant que (09)

pu — ex

La fonction Cm correspond aux périodes 20)'^ et 2tj)'^ ; elle prend

donc la valeur r\\ pour a = co, = — • On a ainsi

et celte formule fera connaître r^^. On aura enfin 7j2 par l'équation

TJiWî— 7^2(1)1 = 1^*,

que l'on déduit facilement de la formule (aS)

Le lecteur verra sans peine ce qu'il y a à faire dans le cas où /r^ est supérieur à -•

Calcul de pu, tj//, ^Uy connaissant u.

i" pu. — . On commence par calculer pa; à cet effet, puisque les racines de pu sont réelles, il suffira d'appliquer la formule (58)

les fonctions 8 correspondant aux périodes 20)^ = co, et 2<ù[^= Wa- Il ne reste plus qu'à utiliser Téquation (g) ; cette équation donnera pour j3 M deux valeurs. Il est évident qu'une seule conviendra; dans chaque problème particulier, il sera facile de distinguer la solution à employer; par exemple, si u est réelle, une des valeurs données par l'équation sera supérieure à ^i + H et l'autre inférieure, tout en restant plus grande que Ci, '

2° ^u. — Ayant calculé !^a, comme il a été indiqué dans le cas des racines. réelles, la formule (h) fera connaître Ça; en effet, en se servant de l'équation (4o)î où l'on fera çf =^ — w,, elle devient

Ç w ~ 2 ï M -h ei z* -i — - — -2 Ç M -f- ei a -f- 4 /

•i pu— ei y

et, dans celte formule, tout est connu sauf ^u.

(pu — m)* -h /i* pu — ei

3** du. — Pour calculer (S'a, nous allons la rattacher à la fonction dUj qui correspond aux périodes ii(ù\ et awg; il suffit pour cela d'intégrer l'équation (A) de manière que les deux membres aienl L. L. 1-2

173 GflAPtTRE YIII.

la même valeur principale pour u infiniment petit

logcTw — logo* a H- loga'(M — wi) H — h "ni a — loga'( — (oi);

d'où l'on tire

or l'équation (58) donne

On aura donc, le signe du radical restant à fixer par la connaissance du signe de //,

Ci u=^ 3** w v^j3 II — e\e

Le discriminant àe du est positif; on sait donc calculer le premier membre (p. 169). On connaîtra par suite rfw, tout étant connu dans le second membre, sauf cette fonction.

Problème inverse. — Résoudre r équation px =^ a.

La formule (g^) donne la solution immédiate; on est, en effet, ramené à l'équation

px = a~\ = 6,

a — ex

et ce problème a été traité dans le cas du discriminant positif.

Remarque. — Dans tout ce qui précède, nous avons supposé q et pu toujours réelles, comme cela arrive dans les applications. Le lecteur trouvera dans le Cours d^ Analyse de M. Jordan (t. II), la démonstration de ce fait qu'il y a toujours une valeur

de a dont le module soit inférieur à - et une valeur de z = e '

pour laquelle on aura

Sous le bénéfice de ces observations, la méthode indiquée page 172 subsiste tout entière, et Ton obtiendra x par la for-

mule (/) dans laquelle îl faut entendre que le cosinus peut être imaginaire et remplacé par sa valeur en fonction d'exponentielles. De même le signe de A dans le second membre n'est plus déterminé et ne sera choisi qu'a posteriori et par la condition que la

valeur trouvée pour e "* satisfasse bien à l'inégalité, admise par hypothèse,

{Application numérique, — Voir la Note IV.)

Exercices sur le Chapitre YIII.