Soit la série des modules donnés par l'échelle de Landen

A: = sinô, X:i=sin6i, ..., X:p=5in6^, ...; les angles 6^ et O^-i sont reliés par la formule

tang*-^^ = sinô;,;

kn, tend vers zéro lorsque n croît à TinGni.

Démontrer la formule

-^ = cos* - cos* — cos* —

Application : ô = 45*; on trouve K = i ,8540747.

2. Aux notations de Texcrcice précédent joignons les suivantes : soient ?i ?i, ?«,-••»?« des angles tels que

tang(o^— ç^i) = k'p^^ tang<p;,, ;

le module complémentaire k',^ tendant vers un lorsque n croît à l'infini, démontrer que ^ a une limite et que

.'0 V'i — A-^bin»© ^ 2"

l8o CHAPITRE VIII.

Ces deux exercices sont empruntés aux Principes de la théorie des fonctions elliptiques de MM. Appell et Lacour, Ghap. X.

3. Établir la formule suivante, dans laquelle a = r (^ -^ t") >

sn M = M — 2A:a ~ -I- (2A-)^(aî-f- 3) y f - (aA')Ha» 4- 33a) ~ -h. . . .

En général, montrer que c^, d^ fn désignant, comme dans le texte, les coefficients du terme général du développement de snu, cnu, ànuy on a

Enfin Ca est une fonction de a multipliée par A:*'*.

Pour démontrer ces théorèmes, on s'appuiera sur les identités faciles à établir

en

Iku, T ) = dn(w, X:).

Pour le dernier théorème, on fera les deux substitutions simultanées

Sn M = - -^ 1 u = — =r y

qui transforment l'équation différentielle de snu en

et l'on comparera le développement fourni par cette équation au premier développement obtenu.

4. Appliquer les méthodes du Chapitre Vfll au calcul des racines de réquation résolue dans le Chapitre VII

iF* — ix^ — ioa;*-i- a3a:— G = o.