C. Établir les formules

iSa CHAPITRE IX.

COMPLÉMENTS : DÉCOMPOSITION EN FACTEURS ET EN ÉLÉMENTS SIM- PLES. — MULTIPLICATION DE L'ARGUMENT. — ADDITION DE snu.

Le calcul Intégral fournit plusieurs théorèmes dont Tapplica tien simplifie quelques-unes des démonstrations données dans le Précis. Je me bornerai à quelques indications succinctes sur ce sujet.

Soit z = x -hiy] si X et ^ sont des fonctions d'un même paramètre tj ou, ce qui revient au même, si Taffixe de z décrit une courbe dans le plan des imaginaires, si de plus f(z) est une fonction uniforme de z, le coefficient différentiel /(z)rf:; se présentera sous la forme [^{t) -h i4(^)]rf/, et l'on aura

Jj(,z)dz=J^{t)dt-^-iJ^{t)dt.

Les deux termes du second membre se trouvent définis comme à Tordinaire lorsque t varie de /o à ^i, et, par suite, l'intégrale ff(z)dz est définie lorsque l'affixe de z parcourt l'arc de courbe correspondant^ il n'y a d'exception que si l'arc de courbe passe en des points, points critiques, où l'une ou l'autre des fonctions ?(^)ï ^i^) ^Icvient infinie. On démontre alors les théorèmes suivants :

Théorème L — Si Uaffixe de z va du point A au point ^pardeux chemins différents, les intégrales lf{z)dz^ prises le long de ces deux chemins, ont la même valeur pourvu que, entre les deux chemins, ne se trouve aucun point critique de

DÉCOMPOSITION EN FACTEUBS ET EN ÉLÉMENTS SIMPLES. l83

Corollaire. — U intégrale j f(z)dz prise le long d^un con-

tour fermé c est nulle si le contour ne renferme aucun point critique.

Le corollaire s'étend à un ensemble de contours limitant une région où ne se trouve aucun point critique de f{z)j par exemple à deux circonférences concentriques, si entre elles ne se trouve aucun point critique, ou au système formé par n courbes fermées n'ayant aucun point commun et par une circonférence à rintérieurde laquelle se trouvent les n courbes, etc. Il faut seulement prendre la précaution de décrire les courbes qui limitent la région fermée, de manière à laisser cette région toujours à la droite ou toujours à la gauche du point décrivant.

Supposons maintenant que le contour fermé renferme des pôles A, B, C, . . . , c'est-à-dire des points d'affixes a, 6, c, ... tels que

/(a) -00, /(6)=:oo, /(c)-oo, ....

Supposons de plus que, dans le voisinage de chaque pôle, /(.s) puisse se mettre sous la forme suivante :

<p(3) ne devenant pas infinie pour 5 = a, .

'!^(z) ne devenant pas infinie pour z = b, . . . ; on aura ce deuxième théorème :

Théorème II. — L^ intégrale jf{z)dz prise le long du contour fermé a pour valeur ( A| 4- B| -4- . . . ) x 2Tzi.

Les quantités A|, B|. ... s'appellent les r<?5/rfw6' de /(.s) relatifs aux pôles a, 6, ....

Corollaire. — Supposons que f{z) soit le produit d'une fonction <p(^), qui n'a pas de pôle dans le contour, par DlogF(5),

l84 CHAPITRE IX.

F(z) n'ajant que des pôles dans la même région; on aura

en désignant par a un zéro d'ordre a, et par p un pôle d'ordre v. En particulier, soit ©(5) r:^ i, on a

(a) — - ; DlogF(^)c^5 =:M — N;

'ÀTZl J

M nombre des zéros, N nombre des pôles. Soit o(z) = z,

(b) --. fzD\os¥{z)dz = S~-T,

S somme des zéros, T somme des pôles. Dans ces deux derniers théorèmes, les zéros et les pôles doivent être comptés chacun autant de fois que le comporte leur degré de multiplicité.

Voici maintenant l'application de ces théorèmes aux fonctions 9 et aux fonctions elliptiques :

Première application. — Dans la formule (a) prenons pour F(^) la fonction ^{z) et pour contour d'intégration un parallélogramme, dit parallélogramme des périodes (*), ajant pour sommets les points ^o, Zq -\- 2W| , ^oH- 20)2, 2o4- 20)4 -f- 20)2. On trouve un pour valeur du premier membre de l'équation (a) en appliquant les formules (1 5) et (16); la fonction 8 n'a pas de pôles, donc

Ainsi, dans iin parallélogramme de périodes, la fonction h n'a qu'une racine; par exemple, dans un parallélogramme renfermant l'origine, il n'y a pas d'autres racines que z = o, et comme on peut couvrir tout le plan avec de pareils parallélogrammes, en prenant comme sommets tous les points d'affixes

( ' ) Nous prendrons toujours dans ce qui suit un parallélograranic élémentaire, c'est-à-dire qui ne puisse pas être remplacé par un parallélogramme de périodes à aire plus petite.

DÉCOMPOSITION EN FACTEURS ET EN ÉLÉMENTS SIMPLES. l85

tous les zéros de ^{z) sont donnés par la formule (')

Deuxième application, — Dans la formule {a) prenons pour ¥{z) une fonction elliptique aux périodes 2 0)| et 2(02, et pour contour d'intégration un parallélogramme de périodes. Le premier membre est nul; donc, pour toute fonction elliptique, le nombre des pôles dans un parallélogramme de périodes est égal au nombre des zéros. Ce nombre s'appelle l'orûfrô de la fonction. La somme des résidus relatifs aux pôles situés dans le parallélogramme est nulle : cela résulte du théorème II.

Ainsi, j3W a un pôle double à l'origine, donc deux zéros dans un parallélogramme de périodes; p' u a un pôle triple (^) à l'origine, donc trois zéros dans un parallélogramme de périodes (p. 4o); sntt, qui a pour périodes 4K. et a/K', a, dans un parallélogramme

Fig. -80.

très voisin du parallélogramme dont un sommet est à Torigine, deux zéros o, 2K, et deux pôles /K', /K'+ 2K; enfin cnw, qui a pour périodes 4^. et 2K-r2«K', a, dans un parallélogramme analogue, pour zéros, K et 3K, pour pôles, i¥J et e'K'-f- 2K {fig. p.o).

Troisième application, — Dans la formule (6), supposons de même F (5) doublement périodique et prenons encore pour con-

(*) Comparez formules (5) et (t), Chapitre II. (') Dans le voisinage de Torigine on a

jî u

-n H- série entière, 11* '

p'u:-. : -H série entière.

tour (l'inJégration un parallélogramme de périodes ABCD (Jig'^i). Le premier membre de (b) pourra s'écrire

or l'égalité, déduite des formules d'Euler (p. 3),

nous montre qu'un nombre y a une infinité de logarithmes

Fig. ai.

X -f- 2/cTzi et par suite que, F (5) reprenant la même valeur en A et B,

[IogF(z)]S = siA-7ri.

Donc le premier membre de (6) prend la valeur — 2 A'(U2< c'està-dire une période, et l'on a ce théorème :

Pour toute fonction elliptique la somme des pâles dans un parallélogramme surpasse la somme des zéros d^ une période.

Quatrième application : décomposition en fadeurs; décomposition en éléments simples. — Mais la plus importante des applications est celle qu'on peut faire à la construction des fonctions elliptiques. Je remarque d'abord qu'une fonction elliptique f{z) qui n'a pas de pôle dans un parallélogramme de périodes est une constante; en effet, d'abord elle n'a pas non plus de zéros (voiV Deuxième application), ensuite la fonction /(2) — const. est une fonction de même nature qui ne peut pas non plus s'annuler, et l'on voit que /(s) n'existe pas, en tant que fonction elliptique; elle peut être une constante parce que, dans ce cas, la démonstration du théorème général sur lequel nous nous sommes appuyé n'existe plus.

(]cla posé, proposons-nous de trouver une fonction elliptique