DËCOMPOSITIO!^ EN FACTEURS ET EN ÉLÉMENTS SIMPLES

qui ait pour pôles

«1, ai, ..., an-,

et pour zéros (en nombre égal)

On sait que

Sa/ = 2:6/-t- aoi.

La fonction, dans laquelle A désigne une constante,

^(m — bi)(^{u — 61). . .^(a — bn — 2 tu)

(c) Au) = X

G'(a — ai) ^(a -- aj) . . . G'(a — a«)

est une solution ; en eiTet, elle admet bien les pôles et les zéros donnés et de plus elle a les périodes 2a)| et 2(02. Pour montrer ce dernier point, appliquons la première formule ( 29)

Et, sauf un facteur constant, il n'y a pas d'autre solution; car le quotient de toute nouvelle solution par /(w) serait une fonction elliptique sans pôles ni zéros, c'est-à-dire une constante.

Dans les notations de Jacobi, c'est la fonction 8 qui remplace la fonction (3*; on a donc pour solution

(c\ .. ^. 0(u-bt)B(u — bi),.,^(u-^bn — it^)

Par exemple, décomposons pu — p{> en facteurs; la fonction de Ujpu — p^, a, dans le parallélogramme des périodes qui a l'origine pour centre, un pôle double, l'origine, et deux zéros qui sont évidemment ç et — ^. Donc, d'après la formule (c), on doit

poser

. cr(M -h p)C(a — f) pu -p. --.A— -^-^- .

et il n'j a plus à déterminer que A ; or, si l'on suppose u infiniment petit, la partie principale du premier membre est -j, celle

(lu second membre ou ^ — ; en les égalant, on trouve

Donc enfin

C'est la formule (3a'), p. 4'-

Le problème de la décomposition en éléments simples est le suivant :

Trouver une fonction elliptique connaissant ses pôles et la partie infinie de son développement aux environs de chacun d^eux.

Si a est un pôle, on sait que la fonction /(w) est de la forme

f(u) -— — - -h ~ — - -+-... H — * — h fonction holomorphe,

de même dans le voisinage du pôle donné b, on donne la partie infinie

(n — b)^ {u — by^-^ * u — b

Cela posé construisons la fonction o{u) suivante : <?(«)- A,Ç(«-a)--A,a«-a)+— ;'(«-a)+--f-(-«)'-'r-*r,FÎ:'='-''^«-'