DÉC03IP0S1TI0N EN PACTEURS ET EN ÊLÉUENTS SIMPLES

Ç (a — a) = - -i- fonction holomorphe,

( W rt j'*

la partie infinie de f (z^) dans le voisinage du pôle a sera bien celle qui était donnée; cp(«/) est une solution du problème et, sauf Taddition d'une constante, il n'y en a pas d'autres, car la différence f{u) — ?(") étant une fonction elliptique sans pôle no peut être qu'une constante comme on l'a montré au commencement de ce paragraphe. La solution générale est donc ©(m) -f- c.

La forme de la solution est la même avec les notations de Jacobi, la fonction Zw de Jacobi ne différant de la fonction Cm de Weierstrass que par un terme en u qui disparaît dans la somme ap> pelée par nous ç(?^).

Le beau problème que nous venons de résoudre, dû à M. Hermite, a reçu de cet illustre savant de nombreuses applications; il est aussi puissant comme instrument de recherches que comme procédé de démonstration. Etablissons, par exemple, la formule d'addition (07) de la fonction pu : la fraction

admet comme pôle w^= — ^eti^ = o (m = ^ n'est pas un pôle annulant les deux termes de la fraction et n'annulant pas le rapport des dérivées).

Ces pôles sont doubles et, de plus, on a, dans le voisinage

de M = o,

'> pu ^--....,

©(m)= — r -{-fonction holomorphe,

igO CHAPITRE IX.

dans le voisinage de w r^ — t', à cause de

çp(a) = — -h fonction holomorphe.

On doit donc poser, en appliquant la formule (rf),

= p(a-t- 1^) -hpa -f-consl.

Pour trouver la valeur de la constante il n'y a plus qu'à faire u = o après avoir retranché — dans les deux membres ; le second devient jd (^ -f- const. Quant au premier il peut s'écrire successivement

— —py-h.

r~(— 2 — M»p'p — . . .)(i— tt»p(;4-...)-«

= i,^.p.; par suite la valeur de la constante est pv^ et l'on a

ce qui est bien la formule (S^).

Troisième procédé. — Enfin le même théorème permet d'exprimer toute fonction elliptique au moyen de fonctions p a et p' m. Trois cas peuvent se présenter :

1** La fonction f{u) qu'il s'agit d'exprimer est paire. Soient

alors

ai, as, ..., an ses zéros,

^it ^S) •-•) àp ses infînis, non congrus à zéro. La solution est évidemment

•^ {pu — pài){pu — pb2)..4pu — pbp)'