DÉCOMPOSITION EX FACTEURS ET KN ÉLÉMENTS SIMPLES. I9I
la démonstration s'établit comme pour la formule (c). Si l'origine n'est ni zéro ni pôle, pz=z n.
2'* La fonction f{u) est impaire, alors son quotient parp'a est pair et l'on est ramené au cas précédent.
3" f{u) n'est ni paire, ni impaire ; on peut la considérer comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire
f(u) = A") ±/tzii) + /(^)-/(-^) ^
et l'on sait exprimer chacune de ces fractions en fonction rationnelle de pu et de p' u.
Multiplication de l^ argument, — Ce sont encore les mêmes théorèmes qui permettront de calculer la fonction elliptique /(/iw) en fonction de /{u). D'abord la formule de décomposition en éléments simples permet d'écrire immédialement
n^pnu = pu-^yp lu-{ ^—- -^j -+- C,
le signe ^ s'étendant à toutes les valeurs entières de mi et ma,
non nulles en même temps, de o à n — i; en efl'et, les deux membres ont les mêmes pôles et les mêmes parties infinies pour les développements aux environs des pôles. Intégrons les deux membres de l'équation précédente, il vient
nÇ/?M = î"+ >.? ( ""^ — } — Cm -4- t..
L'addition de 20)1 à l'argument u augmente le premier membre de n^n-r\i et le second de n^ 271, — 2Ca)4 ; donc C est nul, et l'on a la première formule de multiplication
(e) n^pnu = pu-\-^^p (u-t-
2 /ni 0)1 -H 9.mi(t}i^ n >
Pour établir une autre formule, je partirai de la formule (32" ) dans laquelle je remplace u par mu et v par nu; elle devient
, -, (r(m-^n)u(f(m — n)u (/) pmu — pnu = — -r '—-
Introduisons une fonction auxiliaire
ig) %(")^
qui est une fonction périodique de périodes 2(0|, 20)2, qui a l'origine pour pôle d'ordre ri^ — i et qui a n^ — 1 zéros simples compris dans la formule
•A /wi tui -h 2 m^ b)i n
où m^ et m^ peuvent recevoir les valeurs o, i , 2, . . . , n — i , sans pouvoir être nulles en même temps.
L'équation (/) s'écrit
,k) pmu-pnu=~. ^^-^^j^^^-^,
et l'on aperçoit facilement que l'identité
(pmu — pnu)-h {pnu—'plu)-h (plu — pmu)= o
fournira entre les fonctions ^ une relation de récurrence qui permettra de calculer une quelconque d'entre elles connaissant les premières. Or les valeurs de ces premières ont été données page 71 (Exercices H et 12), on peut donc considérer ^«(w) comme exprimées en fonction de pu et de j^'m.
Alors la formule (g) constitue une formule de multiplication pour tf w, et il suffira de faire n = i dans (A) pour avoir une nouvelle formule de multiplication pour pu
La dernière fraction est, comme cela résulte de (^), une fonction elliptique paire de u; elle s'exprime donc rationnellement en fonction de pu. Il en est d'ailleurs de même de la fonction ^n{u) si n est impair, ou de son quotient par p' u si n est pair, parce que, dans le premier cas, de ^«(w) est paire; dans le second, impaire. La fonction rationnelle sera même ici entière, parce qu'il n'y a pas d'autres pôles que l'origine. En remplaçant daps l'identité
DÉCOMPOSITION EN FACTEURS ET EN ÉLÉMENTS SIMPLES. IqS
du, dnu et pu par leurs développemeDts en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de u, on pourra déterminer les coefficients de ^Ji{u) qui seront ainsi des fonctions entières des coefficients des séries précédentes ou de g2 et de g^.
Addition des fonctions de Jacobi. — La même théorie permet d'obtenir rapidement les formules d'addition de sn2^, cni^ et dnu. Elles se déduisent d'une même formule
(y) cna = cnucn{u — a)-\-snusn{u — a)dna)
qui se démontre sans peine. En effet, considérées comme fonction de Uy les deux quantités
snusn(u — a) et
cnucn{u — a) — cna
sont doublement périodiques aux périodes 2K et 2^'K'; elles ont deux pôles dans un parallélogramme de périodes, savoir les zéros simples de 62 m et de 63 (w — a)(form. 46). Elles n'ont donc aussi, dans un même parallélogramme, que deux zéros qui s'aperçoivent immédiatement et qui sont les mêmes pour les deux quantités, savoir zéro et a. Le rapport de ces deux quantités est donc constant et l'on a
 sn^«sn(^^ — a) ~ cnu cn(u — a) — cna.
Pour déterminer A, je ferai w^X = Wi = Ky/X, et il résulte des
formules (^6), (17) et (i4) que
. cna — cna = A-î — , dna
A =— dna.
La formule (y) est donc démontrée.
Il n'y a plus qu'à remplacer dans cette formule a par — i» et à échanger ensuite v et u pour avoir deux équations, d'où l'on tirera sn(a+ t') et cn(a -h s?). On trouve ainsi
, . cn«a — cn'p sn(M-ht^) = j — :
en multipliant haut et bas parla quantité conjuguée, on retrouve L. L. i3
194 CHAPITRE IX. — DfiGOVPOSITION EN FACTEURS, ETC.
aisément la première formule de la page 68 (Exercice 8). Il suffit de remarquer que cn^ u — cn^ v = sn^ ç — sn* u et que
sn«pcn*adn»M — sh'mcq^p dn«p = (sn'i^ — sn'a)(i — A:* sn'asn*p).
cn(u -\- if) s'obtient de même, et la formule (y) permet alors, en y faisant a rr= m -h t', d'obtenir dn(M + p).
