DÉGÉNÉRESCENCES

Nous avons eu l'occasion, dans le cours du Précis, de signaler certains cas où les fonctions elliptiques dégénèrent en fonctions circulaires ou logarithmiques. Cela arrive si le module A'= o ou si A: = 1 .

Résumons sans démonstration les formules relatives à ces deux

cas; les formules qui suivent, faciles à obtenir, sont extraites du

Traité des fonctions elliptiques d'Halphen.

snu devient sina,

CHU cosM,

dna 1,

(K' = oo).

6^=6^=^— ic„ g^=^e\,

co'= »

XX ,. e ^ sin*M/X

Ç|£ = -M-4 COt » TliU)|=— >

3 2aii 2ù>] 12

8na= , cna = dna=— — >

^8<o, pK=-^-X

3"^ \gWi — <

Iim j- = --7,

y X 7C» c -««'-+-««*' Mt

Ç a = — - u avec v = ï

3 '2 0)» «-«»'— e^»» 2CDs

tir 2

^« = O1 /T» = o, coi = 00, wj = 00,

Nous avons indiqué, pages 76 et suivantes, le moyen d'effectuer l'inversion des intégrales elliptiques en réduisant autant que possible aux fonctions pu. Il peut être plus rapide d'introduire immédiatement les fonctions de Jacobi.

NOTE m. 199

On a vu que le polynôme sous le radical peut toujours être mis

sous la forme (Ma?^-i-N)(M'a?^-4-N'), ou, en posant j:=4/±:v|y,

M(i H- OLX^) (Pa:^4- y)- ^^ ^**s indiquer quelles sont les transformations les plus commodes suivant les signes des lettres a, ^, y* Reproduisons d'abord les équations (63) et (65 bis) :

d%nu ,

cnuanu,

du à cnu

ddnu du

= — snuânUf = — A:' snucnuy

qui, à cause des équations (53), peuvent s'écrire, en posant sna = Xf cnu=yj dnw=:>s,

dx , — .

du

dz du

La première de ces équations montre qu'on opérera l'inversion

de

dx

"^fr^ftr.

■xi)(i — k^x*) en posant

X = sn{u, k), ce que nous savions.

De la seconde on déduit que la fonction inverse de

est

y = cxi{y,k),

et de la troisième que l'inversion de

^ /•* dz

s^obtient en posant Enfin, posons

z = dnCff", k).

snu

il en résulte

cnu

ou

^^/•' dt

Ces formules suffiront, dans tous les cas, au besoin en remplaçant une quantité par son inverse, pour effectuer l'inversion d'une intégrale elliptique en quantités réelles.