IV

APPLICATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES A L'ÉTUDE DU TIR VERTICAL DES PROJECTILES, DANS LE CAS DE LA RÉSISTANCE PROPORTIONNELLE A LA QUATRIÈME PUISSANCE DE LA VITESSE. (NOUS APPELONS TIR VERTICAL UN TIR DANS LEQUEL LA TAN- GENTE A LA TRAJECTOIRE FAIT AVEC L'HORIZON UN ANGLE SUPÉRIEUR A 75».)

Nous supposerons l'accélération de la résistance de Tair exprimé par la formule {^)

X* ^ tArf«A'

p étant le poids en kilogrammes du projectile; d son calibre en décimètres; A la densité de l'air;

(') Nous devons cette Note à l'obligeance de M. le comte de Sparre; les lecteurs qui s'intéressent aux applications numériques, c'est-à-dire véritablement pratiques, des fonctions elliptiques, liront avec fruit les quatre Mémoires sur le tir courbe que M. de Sparre a publiés dans le Mémorial de l'Artillerie de Marine, en 1892, iSgS, 1894 et 1896. La présente Note est extraite du quatrième Mémoire.

(^) On peut admettre cette hypothèse si la vitesse reste comprise entre a4o" et 430"».

^ raccélération de la pesanteur en mètres;

/ un coefficient égal à i pour le projectile type;

J Taccélération de la résistance de l'air en mètres ;

A un cDedQcient variable avec les limites entre lesquelles la vitesse

reste comprise, mais qui diffère assez peu de la valeur fournie

par la formule

logA = 8,30129.

Nous supposerons de plus que Tangle que fait la tangente à la trajectoire avec la verticale est assez faible pour que Ton puisse remplacer sin8 par une quantité constante -, comme Didion Ta fait, pour cos9, dans le cas où la tangente est peu inclinée sur l'horizon.

On pourra admettre cette dernière hypothèse tant que 8 sera compris entre 75** et go'*, surtout si Tare que Ton considère est peu étendu.

En effet, pour ^3**,

sin6 = 0,966 = I-— 0,034.

On a alors

et, comme j^ = t; sin8,

— =— ^/n-— — V dy ♦^ \ 7/ sinS/

Si alors le mouvement est ascendant, on posera

(B) sine=l, Ç=xt, et Ton aura

Téquation (A) deviendra d'ailleurs, en tenant compte des relations (B),

(D) ^dt^__d^

aoa NOTE IT.

et, en joignant à ces relations Téquation

:7- = :7- :7- = — ^ cote, dy dx dy p«

on aura

(E) tangerfe= — — !^.

S'il s'agissait du mouvement descendant, il suffirait de remplacer a par — « et ^J par — y^^. Dans Tun comme dans l'autre cas, les équations (C), (D), (E) fourniront en fonction de ç^ ^, / et 6 par les fonctions élémentaires.

Reste à calculer x. Examinons séparément le cas du mouvement ascendant et du mouvement descendant.

I® Mouvement ascendant. — Si Ton pose

on aura, par l'équation (C),

dy = ^ ^d^

puis, par l'équation (E),

d cos 9 I cos 4» d^ ^ cos6 "~ 2 sinil; * d'où

« . /sind/Q cos6 = cos6o4/ . . '

On a ensuite

dx = cot6 dy =.9. cosô dy^

en remplaçant toujours sin8 par -> ou

(F) d:r = -Stîcos6.i/!54îrfi<.

Posons alors (Note III)

sin + = a?" =5 en* a avec /:»=-,

NOTE IV. 2o3

d'où

,. snucnudnu ,

a<t = — 2 — — du.

^i — en* M

Mais, puisque k^= -j

1 — en* M = (i — en*a)(i-f- en* m) = asn* udn^u; d'^ T= — ^cnudu

donc et

donc

v'sin^' ^^aXÎcoseoy/s-H;;^^

11 faut maintenant calculer w; pour cela, nous calculerons

Dans le cas actuel, comme k ^=^ k! =^ -rzy on a aussi K = K',

d'abord y = e "^ et K.

Dans le c et, par suite,

on en déduit

loglog- = k>g7c-+-loglogc = o,i3493î2, d'où ^

logl= 1,3643764,

Cette valeur de q nous fait voir que, dans les calculs balistiques, qui ne demandent pas une très grande approximation, on pourra toujours négliger les termes en q^ et même, le plus souvent, ceux en q^.

Or, si Ton néglige les termes en y*, on a (p. 168)

Maïs si l'on pose (puisque, dans le cas actuel, k = k' = -^\

d'où

\ogcosz = 1,9147425,

5 = 32- 45' 54', 37, les formules précédentes donnent

ç = - tang' -» K =

2 cos* -

On tirerait de ces formules

\ogq =2,6356207, logK = o,268i2i3 (»),

Si l'on compare la valeur de q que nous venons d'obtenir en négligeant les termes en q* à celle donnée plus haut, on voit que cette différence est complètement négligeable pour l'approximation que l'on a à demander aux calculs balistiques. On peut même remarquer que, si l'on s'était servi de Tables à 5 décimales, ainsi qu'on le fait d'ordinaire pour ces calculs, on n'en aurait trouvé aucune. Ceci prouve bien qu'il est légitime, ainsi que nous allons le faire dans ce qui va suivre, de négliger les termes en q*,

[Passons maintenant au calcul de u.

On a pour cela (puisqu'ici k^= -j

dn« u — = ^ = cos« ( T — - p

donc

6nu = cos 1 T ) •

Mais, aux termes en q* près, et puisque

cos -5 = ^k\

(^) La valeur exacte serait (Tables du Traité de M. Bertrand) logK — 0,268 1272.

NOTE lY. 2o5

on a, formules (46) et (i3)

TZU

donc

d'où

iq cos-|^-

I — iq cos^

6(m) TZU

««Mt-^; i-i-aycos^

I — ig cos -|T-

COS( j — - j -t- C0S5

et, en tenant compte de la valeur de q.

(H) cos^ =

(Z TZ ^\ /Z fit TZ\

tang* -

La formule (H) donnera de suite u lorsque ^ sera connu, puisque K et 5 ont les valeurs données plus haut. Rappelons que

U et Uq étant connus, (G) donnera x.

Mouvement descendant. — Dans ce cas, on doit remplacer a par — a (6 est négatif et voisin de — Qo''), '^^ par — -^J.

Le calcul se présente comme dans le cas du mouvement ascendant; voici les seules différences. Au lieu de la formule (I), on

de même forme que dans le premier cas. De plus, pour le premier cas, mouvement ascendant, u est déterminé sans ambiguïté par la formule (H), car, en vertu de la formule (I), i^ décroît de 90** à o*» lorsque v décroît de 00 à o, et par suite, en vertu de la relation sintj; = cn^ Uj u croît de o à K ; u étant donc compris entre o et K, la formule (H) le détermine sans aucune ambiguïté.

Il n'en est pas de même si le mouvement est descendant; en

Q06 £XBRGIG£8 DIVERS.

effet, dans le cas actuel, v peut croître de o à sa valeur limite )^i , et, lorsque c croît de o à X«? ? décroît de 90° à o et, par suite, comme ^= aç, ^ décroît de 180** à o. Mais nous remarquerons que nous avons supposé que u croissait avec x^ c'est-à-dire lorsque ^ décroît, et comme, pour u = Oj on a sint}; = i, d'où ^ = go** et ç = 45**? on en conclut que l'on devra prendre

— K < w < o si <p > 45* et

o<M<K si f< 45^

De cette façon, u se trouve déterminé aussi dans ce cas sans aucune ambiguïté.

Exercices divers, i. Démontrer la formule

le produit I I s'étendant à toutes les valeurs entières de nii et FJtf comprises entre o (non exclu) à n (exclu), non nulles en même temps.