CHAPITRE I. — NOTIONS PRÉLIMINAIRES

Nous numéroterons les formules importantes en chiffres arabes, les numéros se continuant d'un Chapitre à Tautre. Les autres formules qu'il pourra être commode de rappeler seront désignées par les lettres de l'alphabet français ou grec, la première lettre étant reprise dans chaque Chapitre.

Les notations adoptées sont celles de l'Ouvrage de M. Jordan (Cours d'Analyse de l'École Polytechnique); ce sont aussi celles employées par M. G. Humbert dans le Cours qu'il professe à l'Ecole Polytechnique. Elles ne diffèrent de celles de MM. Tannery, directeur des Études à l'École Normale, et Molk que par une question peu importante d'indice dans les fonctions 6; celles de M. Jordan sont plus symétriques et par suite plus faciles à retenir.

Les démonstrations en petits caractères ne sont pas indispensables à l'intelligence du texte.

On trouve à la fin du Volume un Tableau faisant correspondre nos notations à celles des autres auteurs modernes.

DBS SÉRIES ô.

DES SÉRIES e : ROLE DES PÉRIODES, ADDITION, USAGE POUR L\ CONSTITUTION DE FONCTIONS ELLIPTIQUES, RELATIONS QUADRA- TIQUES [FORMULES (1) A (19)].

Étude préliminaire d'une fonction holomorphe. La série que nous voulons étudier est la suivante

le signe ^ s'étendant à toutes les valeurs entières de /i, de — oo

Théorème I. — La série (a) est convergente, quelle que soit z^ pourvu que la constante a soit une quantité négative ou une imaginaire à partie réelle négative.

En effet, le rapport dW terme au précédent, pour les valeurs positives de n, est

Un

Ua-\

^z gz-^tna := gz ^tna^

Si la constante a est réelle, il faut et il suffit qu'elle soit négative pour que le facteur e^"^ tende vers zéro, lorsque n croît à riniini; sinon, soit a=: a' -\-Ui^ le module de ce facteur (p. 3) est e^"*' et il faut que la partie a' soit négative pour que le module du rapport considéré tende vers zéro.

Même démonstration pour la partie de la série qui correspond aux valeurs négatives de /i; il suffit de changer /i en — n.

Remarque. — J'admettrai sans démonstration que ^{z) a une dérivée qui est la somme des dérivées des termes de f (2). C'est une fonction holomorphe.

Périodicité. — La fonction ^{z) admet la période ^Tzi, car l'addition de ^Tzik z revient à multiplier le terme de rang n par

cos(2n-f- l)2TC-4-/sin(2/2 + l)2ir=I,

{b) 9<>8-+-4iîO = ?(«).

Remarquons, en passant, la formule (c) <p(^-+-2TrO= — ?(^).

Ajoutons maintenant ia k l'argument z^

id) { -^* * / «\ / «\'

o{z 4- ia) = — e-(^+«^ 9('2)'

La fonction cp(j5) est donc de la classe de celles que nous avons appelées, dans le Chapitre 1, fonctions périodiques de troisième espèce.

Corollaire, — On a

( o(^-i-2ma) =^ (— i)''*e'«(s^-'»«^o(5).

Théorème II. — Les formules (c) et (d) définissent entièrement la fonction o{z)y à un facteur constant près.

On suppose toutefois la possibilité des développements en séries pour les fonctions que l'on veut caractériser. Posons, en effet,

la formule (c) devient

et la formule (d), puisque ajouter a k z revient à multiplier l^ f^Tq{q = €''),

(d') qt^Aqt)=-f{t\

Cela posé, une série, ordonnée suivant les puissances impaires de t pour satisfaire à la condition (c'), s'écrira

et la condition (rf') donne immédiatement une loi de récurrence entre deux coefficients successifs

d'où l'on déduit

1 Le facteur Ao^' * étant le même pour tous les termes de S(/), on a

Théorème III. — La fonction ^(z) est une fonction impaire. En effet, changeons z en — z; nous avons

et, si nous posons

= — cp(z). t;. g. K. u

lO CHAPITRE II.

Expressions diverses de^{z). — Soit

d'après les hypothèses faites sur a, q sera une constante réelle inférieure à un, ou imaginaire de module inférieur à un. y (2) peut s'écrire

On peut encore écrire

[g-+-(îii-H)al'

Zéros de ^(2). — Considérons la dernière forme et récrivons, en mettant p au lieu de /i,

Nous allons chercher à déterminer des valeurs de z telles que les deux termes généraux des formules (g) et (h) soient égaux et de signes contraires. On aura alors, pour ces valeurs de 2,

et, par suite,

Il faut donc que

ou

(s-t-(în-H)fl]« __ [»-f-(t/»H-l)rtl«

ce qui entraîne ou

^ [z-h(n -{- p-hi)a . .1

le nombre k élant un nombre entier positif, négatif ou nul, qui peut d'ailleurs varier avec n. Il faut donc que les deux, facteurs du premier membre soient séparément impairs, ou encore, puisque n — p et n-^ p sont de même parité, que

n-\~ p = — (2m-hi}y

-iH-(;i-î-/?-+-i)a = 2m'Tzi;

on déduit de là

( t ) z — 2 ma -^ 1 m' Tz i,

m et m' étant des nombres entiers qui peuvent recevoir des valeurs constantes arbitraires, positives ou négatives sans exclure la valeur zéro.

La formule (i) fait connaître une double infinité de zéros de <p(5); nous admettrons que ce sont les seuls, ce que va d'ailleurs prouver immédiatement la décomposition de f{z) en facteurs.

Décomposition de ?(2) en facteurs. — La décomposition peut être prévue d'après ce qui vient d'être démontré. Formons un produit qui admette les racines

c'est-à-dire qui s'annule lorsque

Posons, comme plus haut,

Les facteurs du produit seront de la forme

ou plutôt, comme un produit ne peut converger vers une valeur finie non nulle que si les facteurs tendent vers un, les facteurs seront de la forme

1 = ~j- pour les valeurs positives de m et de la forme i — q^"*t^ pour les

facteurs qui, primitivement, correspondaient aux valeurs négatives de m. £n d'autres termes, le produit à considérer sera

F(0 = A^J'J(.-y»'«<«)f[(,-Jj^«"');

12 CHAPITRB II.

le signe II indique qu'il faut faire le produit des facteurs que l'on obtient en donnant à m les valeurs 1,2, ... jusqu'à l'infini. Le facteur, mis avant les produits II, tient à ce que F(/) doit s'annuler pour t = i{z = o), et

changer de signe sans changer de valeur lorsqu'on change / en - (^ en — z).

A ne dépend que de q. Le produit F(0 sera convergent si | ^ | est plus petit que i, ce qui est l'hypothèse.

Or ce produit jouit des deux propriétés suivantes évidentes :

F(~/)=-F(0, qt*F(qt)=--'¥t,

Donc, d'après le théorème II, il ne diffère que par un facteur constant de la fonctionne/) ou o(z) et nous pourrons écrire :

(y) ç(;;) = A?i^]][(i-^«'«e^)JJ(i-e-^y»'«).

Les zéros s'obtiendront en annulant un quelconque des facteurs

z = 2 ma -H 2 /n' TU **.

Remarque» — Soit z = ui^Wu = ^{z), comme

(1 — q^"tez)(i e-s^î/ii) = , __ ^«m(ga+ e--)~h y^"*,

on aura, par les formules d'Euler (page 3).

(k) W{u)= A,sin "l~f (1 — 27*"*cosM-h^*'").

A la fonction o{z) sont intimement liées trois fonctions qu'on obtient en ajoutant à z soit Tzi^ soit a; mais nous laisserons au lecteur le soin de les étudier (voir les exercices à la fin du Chapitre). Nous retrouverons, d'ailleurs, les mêmes calculs en partant de la fonction que nous allons maintenant définir.

De la fonction 0. — L'usage s'est établi d'autres notations et, en fait, si nous conservions la fonction (p(^), dans les applications, il faudrait donner à z des valeurs imaginaires; la variable que nous allons introduire, au contraire, sera presque toujours réelle. Il convient, de plus, d'avoir à sa disposition une période

DBS SÉRIES B. l3

quelconque au lieu d'un multiple de ic; la période que nous allons introduire sera, en général, réelle. Nous substituerons en même temps à a une nouvelle constante.

Voici les substitutions à faire

5 = — Uy a = — coi ;

!2C0| et 2(i)2 s'appellent les deux périodes.

La fonction o{z) se transforme alors en une nouvelle fonction 6(a), après multiplication par un facteur — i^ dont Tutilité apparaîtra immédiatement,

— oo

En groupant les deux termes qui correspondent à /i et à — n — i, et appliquant la deuxième formule d'Euler (page 3), on obtient la nouvelle forme, dont tout signe imaginaire a disparu,

{ibis) ea = 22(-0'»^ ""^'^ ^*"(^''-^') J^-

Pour la convergence, il sera nécessaire et suffisant que | q \ soit inférieur à i , c'est-à-dire que Wj soit égale à une quantité positive multipliée par \J — i, si a)< est une quantité réelle et positive, ou plus généralement que le rapport — ait sa partie imaginaire positive.

Les formules (6), (c), (rf), (e), démontrées pour la fonction ç(;î), donnent immédiatement les formules correspondantes relatives à 9w,

(3) e(i/.-4-2Wi) = — Oa,

l4 CRAPITRB II.

Les zéros de Oi/ seront donnés par la formule (5) a = a/iici)i-+- 2/n'a)î,

déduite de la formule (i).

La symétrie de cette formule a conduit à donner le nom de périodes aux quantités (o< et (O2, quoique, en réalité, 4^1 seule soit une période de 6a. Cette désignation sera amplement justifiée par la suite.

La fonction 9west impaire comme y (s) et s'annule pour ;/ = o; sa décomposition en facteurs résulterait de la formule (k).

Théorème. — Les zéros de ^(u) sont simples.

Les formules (3) et (4) montrent qu'il suffit de le démontrer pour M = o. Or

0'(a) = — y.(—i)^q' ^^ {in -Hi)cos(2/n-i)

donc

Wi

Si q est infiniment petit, la valeur principale de 8'(o)est — y*,

non nulle; ce qui suffit à prouver que8'(o) n'est pas nulle, en général, et, par conséquent, que w = o est une racine simple de 6m.

Théorème dit de l^ équation à trois termes. — La fonction ^{u) vérifie l^ équation

i (^(b — c)o(b -^ c)r^{a — rf)ç)(aH-G?) (7) } -^^{c — a)'D{c -t- a)f(ô — d)o(b -{- d)

Posons, en elTet,

Soient A, B, G les trois termes de Téquation à vérifier, (A),

DBS SfiRIBS 6. l5

(B), (C) les termes généraux de ces trois termes :

(A)= (-i)"^ * e ^^^(-i)Pg * e^ *<«>.

7 |lrH-l)7C/- (2J4-1)TCI ■— -

?-* Jiis

en posant

/ ji = n-hp-h r-h s,

J aî= (2/l-i-l)*-f-(2/>-+-l)*-f-(2r-|-l)'-h('25-+-I)*,

( p = (î/i-r-iX^ — c)-4-(2/?H-ï)(ô-+-c)-î-(2r-!-i)(a— rf)-h(2s-hi)rrt-T-û?;; on aura de même

en posant

P' =:r^2/l'H-l)(c — a)-4-(2/>'H-l)(c-r-a)-T-(2r'4-l)(6 — rf)H-(25'-M)(6-l-rf).

el{C)sera composé d'une manière analogue. Nous allons chercher si, à tout terme de (A), il est possible de faire correspondre, quelles que soient les valeurs de a, t, c, rf, un terme de B qui le détruise.

Il faudra pour cela d'abord que ^ = P', c'est-à-dire que

2r-hlH-2S-4-I — 2/>'-f-I — (2W'-+- l). . .,

ou

ir -»- 5 -h I =/>'— n',

d'où l'on peut tirer les valeurs de

n — - {n -{- p -^ r -r- s) — n — - fx — n, /?'= — ~ (/i -i-/? -h r -f- 5) -^/> — I = — i fx -f-/> - I,

r'= '(n-hp-hr-hs) — s = - fx — s,

s= - (n-4-/>-t- rH-5) — r = -jx— r,

l6 CHAPITRE II.

et par addition

II résulte de ces égalités : i** qu'un terme de A ne pourra être détruit par un terme de B que si (x ou /i +p-+- r + 5 est pair (supposons-le); 2** que les deux termes considérés seront bien, dans cette hypothèse, de signes contraires. Il reste à vérifier que les exposants de q sont bien égaux, a^ = a'* ; on doit avoir

n* -*-/>* -h r» H- 5* -h fx = n'* -h />'" -f- r'* -+- j'* -+- fx'.

Mais les égalités (/) donnent, en les ajoutant membre à membre après avoir élevé leurs deux membres au carré,

ou en ajoutant aux deux membres/? + /i = r'-j- 5', ce qu'il fallait vérifier.

On verrait de même, en résolvant les équations (/) par rapport à /i, /7, r, 5, ce qui donnerait, par exemple,

qu'un terme de B ne peut être détruit par un terme de A que si [x' est impair, mais alors qu'à tout terme de B à exposant impair correspond effectivement, dans A, un terme qui le détruit. Donc les termes de degrés pairs, dans A, sont exactement détruits par les termes de degrés impairs de B. De même les termes pairs de B seront détruits par les termes impairs de C, et les termes pairs de C par les termes impairs de A. L'équation à trois termes est donc établie, et l'on a

i 0(6 — c)0(^>-h c)0(a-rf)e(aH-fi?) (8) I -f-0{c — a)0(c-f-a)0(ô — ^/)6(ô -hrf)

( -He(a— 6)0(a-+- ^>)0(c — ûf)O(c-hc^) = 0.

Les fonctions 0i, 0j, ^3- — De même qu'en Trigonométrie il est commode de considérer, en même temps que la fonction impaire

sino:, la fonction paire sin ( x -f- - ) := cos x, de même nous adjoindrons à la fonction B les trois fonctions qu'on obtient en ajoutant à l'argument u les demi-périodes to<, Wa et (i><-ht02. Pour des

DBS SÉRIES 9. 17

raisons de notations que la suite justifiera [formules (11), (12), (i3)], on a, de plus, multiplié par de certains facteurs ; voici les définitions exactes :

iM= 0(a-ho)i),

(10) { 0,M = — ig*e**^«e(M-i-a>,),

83a = Oj(a-l- ci)i) = — t^^g'"'0(tt-+-a>i-|-ti)j).

On peut remarquer que, à un facteur près pour 82^) ^i se déduit de par l'addition de cOf à l'argument, B^ par celle de a>2. On est alors amené à introduire, par analogie, une troisième constante W3 ; si Ton pose, pour la symétrie,

coi-f- ti)j-i- a>3= o, la troisième formule (10) devient

nous laisserons comme exercice à démontrer cette formule que nous n'utiliserons pas. On voit que 83 se déduit de 8, à un facteur près, par l'addition de (O3 à l'argument; cette constante 0)3 jouera un grand rôle pour la symétrie de nos formules ultérieures.

Développements des fonctions 9x, Q^^ ^3 en séries d'exponentielles ou de cosinus. — En écrivant u-\- tù^ au lieu de // dans la formule (i), on a

or

e '***' =cos(2/n-0 h tsin (2/1 4- r) -

Donc

l8 CHAPITRE II.

et, en groupant les termes qui ont dans l'exposant n et — n — i ,

De même la seconde formule (lo) conduit, pour ^2(11) ^ à la valeur suivante :

7ri(«)a

ou, plus simplement,

(VI) 0,a=2(-O'*r' «""**";

d'où, en groupant les termes qui correspondent à /i et à — /î,

(11 bis) 0,a = i-h 2^(— O^^^'cos/i — M.

Enfin, à cause de la dernière formule (10),

Propriétés des fonctions 0a- — Les développements en séries de cosinus démontrent immédiatement que ces trois fonctions ne changent pas de valeur si l'on change u en — u; elles sont paires. Quant à la fonction 6, elle est évidemment impaire, comme ?(5):

on a donc

0(— ze) = — a,

*'^ e2(-tO= OtM,

Os"-

L'addilion de (Of, de 0)3, de 20)4 et de 20)2, produit sur les fonctions Oa des effets analogues à ceux produits sur 0, et, comme ce sont au fond toujours les mêmes calculs à effectuer, nous nous bornerons, pour éviter des redites fastidieuses, à transcrire les résultats faciles à vérifier; ceux relatif à 6w ont d'ailleurs déjà été établis.

Addition des périodes.

6 (a H- 2u>i) = — w, Oi(m -+-acoi) = — Oj w, 6i(MH-2a)i)= OjM.

Ô3(wH-2a)i)= 63a;

Tïl,

(M-f-2Wi) = — e ^' M,

--- MH-W,)

6i(a H- aa>j) = c Oj(m 4- 2U)i) = — e 83(^4-20)2)= e

Os M.

Addition des demi-périodes.

9 (mh-wi)= OiM, 8i(m -h a)i) = — 6 w, 6j(a-}-u)i)= 93 a, 03(aH-a)i)= 9,a;

9 ( M H- Wj ) = «y 9i(m-I-(i),)=: ^

9î(aH- o)î)= 1(7 93(a4-o>j)= y

aWi"

9iM.

Zéros des fonctions ^a- — Ces zéros résultent immédiatemenl des formules (17) et (18). Ainsi, pour que 8| w soit nulle, il faut que ^{u + u)<) le soit, ou que [formule (5)]

u 4-wi= 2/wa)i4-2/n tjj

OU

M =(2/?l -h l)ti)iH- 2m'cu|,

ainsi des autres. D'où le Tableau suivant, où nous avons reproduit la formule (5),

Zéros de M i m (Hi -\~ 2 m' Wf

. » de 6ji/ (2/71 H- i)t0i-+-2m'(0ï

» dèOiM 2ma)i -f-(2m'-f- i)a)j

» de 6jf/ (2m -t- i)wi + {2m'-h i)toj

On peut remarquer que

Zéro annule 6 w

u)i annule 61 //

a>2 annule 0^ m

a)j = — (wi-H wj) annule 63 w

Remarque. — On pose souvent

20Ji ' tOi

Les fonctions ^g^u deviennent alors des ^a^'J les formules correspondant à celles que nous avons obtenues s'oblîennent en

ajoutant à v soit i ou - soit t ou -• Mais nous ne ferons pas usage

de cette notalion.

Remarque importante, — Les séries 6 sont très convergentes et, dans la pratique, le module de q est suffisamment petit pour qu'il suffise de considérer un ou au plus deux termes de ces séries.

Considérations sur la réalité de ces fonctions. — Si (0| et

~ sont réelles et positives, q est réelle, inférieure à l'unité et Ton

voit, par les formules (i bis), (1 1 bis), (12 bis) et (i3 bis), que les fonctions 6 sont réelles pour toutes les valeurs réelles de m. Les constantes 9'(o), Oa(o), qui jouent un rôle important dans ce précis, sont aussi réelles. II n'en est pas de même si (o, et w^ sont des imaginaires; même dans le cas où ce sont des imaginaires

conjuguées, il n'est pas possible de rien dire ici de général sur la réalité de ces fonctions.

Premier ftperçu sur les fonctions elliptiques. — Le quotient de deux fondions 6 est doublement périodique ; par exemple,

p-^ admet la période ^tù^ et la période 20)2 [formules (i5) et

Relations entre les carrés de trois fonctions d (*).-— Je devrais ici établir les relations quadratiques qui existent entre les différentes fonctions que nous venons de rencontrer; mais les plus utiles de ces relations se présenteront d^elles-mémes plus loin (voir page 52). Je me bornerai à quelques indications succinctes qui suffiront à retrouver les résultats dont j^aurai besoin.

Une quelconque des fonctions 6 a pour terme général une expression de la forme

dans laquelle a et ^ peuvent recevoir indifféremment les valeurs o et I. Si Ton fait le carré de cette fonction 8, il faudra multiplier le terme précédent par un terme analogue,

et le résultat pourra se mettre sous la forme

(m-i-B)iri -—

en posant m^= n-\- p et 1= n — p, m et l sont de même parité. Le terme précédent peut encore s'écrire :

Les termes pour lesquels m est pair seront multipliés par uu

(* ) Tout ce paragraphe, jusqu'à la fin du Chapitre, peut élre passé à une première lecture; mais il faut, en tous cas, noter les formules (/w), (/?), {g) et, surtout, la formule fondamentale {s).

n coefficient Sy * dans lequel / reçoit toutes les valeurs paires; on voit que, en séparant les termes pour lesquels m est pair des autres, on pourra exprimer les carrés des en fonction de deux séries 4>o et 4>2, de sorte qu'on aura

0ï(w) = a «t>o(u)-h6 *,(«/), eî(M) = a,*o(«)-h^j*î(</),

e|(ïO = «3*o(«)-+-^3*î(").

Il n'j' a plus qu'à éliminer <ï>o et 4>2 entre trois de ces quatre équations pour avoir les relations cherchées ; Tune d'elles sera de la forme

Pour avoir P, faisons u = o>,, et utilisons les formules (17)

0^1 Qî(o) P O|toi 6|(o)'

Pour avoir a, je ferai u -- (O2 et je me reporterai aux formules (8),

d'où la formule

Oî(o)"»" 6|(o) ' '

les autres formules se déduiront de celle-ci en ajoutant à u soit o), , soit ti)2, soit Wi + wj.

On pose ordinairement

A" est appelé le module et /:' le module complémentaire; les formules déflnitives sont, avec cette notation,

ÂrO* (z-f-A-'e'a.

Ces trois relations se réduisent évidemment à deux. Dans la troisième, faisons m.=: (i>< ; elle devient

OU

e|(o) = A:eî(o)-hA:'eî(o).

Remplaçons k et A*' par leurs valeurs ; nous obtenons la relation

{o) Oî(o) = e{(o) + OJ(o).

Au contraire, divisons les deux membres de cette équation par J8J(o) et remplaçons les quotients par leurs valeurs (/w), nous ■^ obtenons

Cette équation explique les noms de module et de module complémentaire donnés à A* et à k\

Il existe une seconde relation entre les quatre fonctions; je vais indiquer une première méthode pour l'établir, elle résultera aussi d'autres formules qui seront démontrées plus loin. Nous avons vu [formule (j) de ce Chapitre] que

<f(z) = A *'7' J I (' — ?*"■«*)(! — e-'q*'"), d'où

(p) ea = 2A.sin I I (i — 2gr*»*cos h^*'»).

Les équations (lo) permettront alors d'obtenir les développements des Oo( <^D produits; on trouvera aisément

6i(w) = 2ACOS Il ( I -i-2gr*'«cos h 7*"*),

(q) l Oi( w) = aTT ^i - a^ï/n-i cos — h- q^^-i] ,

e, (a) = aTT (i 4- 2^»'"-» cos — -f- q'^'n-t\ .

On en conclut

0,(o) = 2A TT(i + yî/n)i =.iAQ»,

ao

e,(o) = A JT(I — g^m-l)! = AR»,

03(0) = A JT(i-+-5'»'"-J)*= AS».

Mais

QS = (l -+- 9) (1-4- 9») (I -f- ^3) (I -i- çrV). . .

Donc, en combinant les équations (r) membre à membre d'une manière facile à saisir

e'(o)=£-goifo)e,(o)e3{o).

Mais nous allons voir que

On a donc enfin l'importante relation

(I) O'(o)=^0i(o)Oî(o)O3(oV

Calcul de A. — Pour écarter des difficultés de signes et par analogie avec la méthode de M. Biehler, exposée dans la Note mise par M. Hermite à la fin de la cinquième édition de Serret, je considérerai de préférence la troisième formule (q)

63 a = A jT ( I -h 2 q^"*-^ cos -^ h q^m-i \

I -f- y*"»-» \e ^' -f- e ^7 -h ^*'«-2j r- A TT (i -i- y""-» e^^J (i -i- yî"'-» e~ '^y.

DES SÉRIES ô. 25

Posons yi ^

et appelons /;„( -s), le produit précédent II limité au m^'*"* facteur. Il vient

63W = Alim/;„(-s) pour m = ce.

Le développement de fm{^) suivant les puissances ascendantes de -z, évidemment réciproque, se présentera ainsi

Soit Po I3 limite de Bq lorsque m s'étend à Tinfîni; A^o représente le terme de 63a indépendant de z ou de u, c'est-à-dire un. On aura donc

et tout revient à trouver Po« Or, en changeant z en q^z, on a évidemment

d'où l'on déduira une relation entre les Ba:

Ba = Bx i

yî*-i(|__yîm-U-hS)

im-^tk

En changeant X: en A- — i, A^ — 2, ... et multipliant membre à membre les égalités ainsi obtenues, on trouve

Or B;„ se calcule directement : jsa valeur est çr"»'.

Donc, en faisant/: = m dans l'égalité précédente, on aura

(i — y»m-^2) . . . (i — glm-^tk)

et, comme ces produits sont absolument convergents |7l<i, on aura, pour m = ao,

= limBo:

(,yî;(,^^)...(,r/^"i)... P

a6 CHAPITRE II.

Donc enfin

Po

Exercices sur le Chapitre II.