Supposons que l'on ait

î<,î;,w désignant trois variables indépendantes quelconques. Si l'on fait varier l'une d'elles seulement, et qu'on fasse croître u de du par exemple, la fonction variera d'une quantité infiniment petite qui sera sa différentielle partielle par rapport à u, et que l'on pourra écrire

f',{u,v,w).du ou j^^-dii-

De même pour les autres variables.

Si on les fait varier toutes les trois, et que :i, v, iv croissent respectivement de du, dv., dw., la fonction z variera d'une quantité infiniment petite dz, qui sera sa différentielle tolalo, et l'on aura

dz=^f{u -t- du, V -h dv , w -t- dw) — /"(», i', w) ;

mais cette relation peut s'écrire

dz r= /" (u -+- du., V -+- dv, IV -+- dw) — f [u, v -+- dv., w H- dw) -h f {Uf v-hdv, w H- dw) — f (u, V, IV -t- dw) -^f{u, Vj w-hdw) — /"(w, V, w).

imXCIPES DE DIFFÊRE.NTIATION. l'J

Or la première ligne du second membre est la différcnliello [)articlle de /"(«, r + Ji', w-\-dw) prise par iaj)port à /<, ou, ce qui revient an incine, la dilTérentielic partielle de f (u, V, w), puisque dv et div sont aussi voisins de ?.éra (jn'on le voudra , et disparaisser.t devant les quanl;t''s (inics veiiu. De même, la seconde ligne est la dilTércnlielle parlielle de [m, v^ w -hdw), par rapporta v. ou, ce qui revient au même, la différentielle partielle dcf{u^ r, w), puisque dw est aussi voisin de zéro ([u'on le voudi a et disparait devante. Enfin la troisième ligne est la dilférentiolle partielle de f{u, V, w) par rapport à iv. On a donc

(G) dz = f\{a, V, iv) du -+- f ,'«, y, w) dv -+- f'„,{u, y, w] dw,

(7) d~. = %du-^'^dv+'^dw;

du dv dw

ce qui signifie encore que la différentielle totale est égale ù la somme des différentielles partielles.

Ce princi()e pourrait être étendu de la même manière à une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes.