Considérons la fonction

dans laquelle n etv sont des variables indépendantes quelconques. On peut d'abord ne faire varier que l'une des variables indépendantes, et changer par exempleif Qnu-\-da, en regardant V comme constant. La variation infiniment petite que subit alors la fonction /"est ce que l'on appelle sa différentielle ]}ftrfie'//d prise par rapport à ?<. Elle est égale à la dérivée partielle de /' prise par rapport à m, multipliée par du (14). On représente cette dérivée partielle de deux manières : soit par

la notation /'^(m, v), soit par la notation -J- , dans laquelle

PliliNCIPES DE DIFFÉREîsTFATION. 17

il ne faut pns voir un quolicr.f, ninis une sim[)ln maniôro d'éciirc la dérivco. L'accroissement inlMiirncnt petit que prend f{u,v) quand on fait croître u de du peut donc s'écrire

f\{u,v) .du ou 1^1^. du.

De même, si l'on regardait u comme constant, et que l'on fit varier i' de dv, la fonction f[u,v) varierait d'une quantité infiniment petite qui serait sa différentielle partielle prise par rajiport à u, et qui aurait pour valeur

f,{u,v)dv ou ^J^-dVy

Tune quelconque des notations /"'„(«<, i') ou -,- représentant la

dérivée partielle de la fonction par rapport à /.'.

Z'S. — Supposons maintenant que l'on fasse varier à la fois u et V, l'un de du et l'autre de rfr, la fonction z variera d'une quantité infiniment petite dz, que Ton appelle sa différentielle totale^ et qui a pour valeur

dz=f\u H- (/(/, v-\-dv) — f{u,v).

Or, on ne troublera pas cette valeur en retranchant et ajoutant à la fois la quantité f[u, v + dv) ; on peut donc écrire

(2) dz=[ {u+du,v -\- dv)—f{u,v+dt')+f{u,v-hdu) — f{u,v).

Mais l'ensemble des deux premiers ternies du second membre n'est antre chose que la différentielle partielle de la l'onction f{u,v + dv) prise par rapport à m, ou la différentielle partielle par rappoit à w de la fonction f (u, r), puisque dv est aussi voisin de zéro qu'on le voudra et disparait devant la quantité finie V ; l'ensemble de ces deux termes peut donc s'écrire

fu{u,v).da ou j;-. du.

De môme, l'ensemble des deux derniers termes n'est autre

chose que la différentielle partielle de /"(», î;) prise par rapport h V ; ils peuvent donc s'écrire

f\{ii,v)dv ou ^-£'dv.

On a donc enfin

(5) ih=f\ {u, v) (la -+- f\ (m, v) dv,

ou

(4) dz^^4-- f^'* + V- • (^v!

■ ' du dv

ce qui revient à dire que la différentielle totale est la somme des différentielles partielles.