Reprenons l'éijuation

Au beu de regarder zf et U comme des variables indépendantes, supposons-les toutes deuK fonctions d'une même valiable X; h\ fonction z sera alors ce que l'on appelle une fonction composée de x. Or celte sujiposition ne changera rien à la démonstration du n° 27; on aura donc encore

dZ'= f'uiu, v) du -+- f\. {u, v) dv.

Mais u clv étant des fonctions de a:;, on a alors

(lu = u' dx , et dv = v'dx,

u' et v' désignant les dérivées de u et de i; par rapport à x. On aura donc

dz=f\ {u,v) u' dx -h f\ (u,v) v'dx^

et, en divisant par dx,

— = /■'„(», v) .u'-hf\.{u,v).v':

ce que l'on peut aussi écrire

dz df , f'/ / .

dx du ' du ' '

c'est-à-dire, en vertu du principe sur la dinércntiation des fonctions de fonctions (25), que îa dérivée d'une fonction composée f(u, v) est la somme de ses dérivées partielles par rapport à u et à V, obtenues en regardant successivement u et v comme des fonctions de x.

On arriverait à une conclusion analogue pour la fonclion z = f{u, V, w), si !f, V et îv étaient des fonctions d'une même variable x, c'est-à-dire qu'on aurait

j^ = f'u[u, V, iv) . Il' -f- f\ (m, v, w).v' -h f'^ (u, V, w) . w';

ce qu'on peut écrire aussi

dz df , df , df , dx du, dv dw

ITiiNClPES DE DIFFÉRENTIATION. 2j