On reconnaît aisément que la série

est convergente, quel que soilic. Car si l'on pousse la série assez loin pour que n soit supérieur à x, les termes suivants

se formeront en multipliant successivement par r , ^.

, facteurs infcricuis à -; donc, en vertu du prin-

n-ho n

cipc exposé au n° 5, la série est convergente Il en est de même de la série

Cjc Cx- Dx' Nx"

pourvu que les coeflicieiiîs A, C, C, ...,N, ..., restent finis et n'aillent pas en croissant indéfiniment. Si, en effet, on désigne par M le plus grand de tous ces coefficients, on voit aisément que la somme des termes de la série proposée est moindre que la somme des termes de la série

Or la quantité entre parenthèses a une limite ; et puisque M

est fini, il en est de mémo »ui produit de celte parenthèse par M. Donc la série proposée est convergente.

G. — Ce qu'on peut dire de plus f^énéral sur les séries dont tous les termes ne sont pas posilifs, c'est qu'une série est convirgente si, en prenant tous les termes avec le signe + , on obtient nue ^é^ie convergente, ce qui est évident.

Mais il se présente fréquemment une circonstance qui mérite d'être éludiécà p.irt : c'est celle où les termes de la série sont alternativement positifs et négalifs. D.ins ce cas, il suffit^ pour la convergence , que les termes aillent en décroissant indéjhnment. Considérons, en effet, la série

Désignons par S„, S„^,,S„+îla somme qu'on obtient en s'arrétant respectivement aux termes z/„, u„+i, Un+i' 0" aura

et

S„+2 = S„+i — ?/„+„ d'où S„+, < S„

S„+2 = S„ + (»„+! — î/„+î) , d'où S„+j > S„,

attendu que, les termes de la série allant en diminuant, Wn+i — "H+sest positif.

On arriverait à des conclusions analogues sile terme m„ étnit pré:édé du signe — ; il n'y aurait de changé que le sens des inégalités. Dans tous les cas, S„+2 est donc compris entre S„ et S„+i. 11 en résuite que S„+3 est compris de môme entre S„+i et S,(^j, et par conséquent aussi entre S„ et S„+i ; de même encore S„+i est compris entre S„+, et S„+5, et par conséquent aussi entre S„ et S„+i, et ainsi de suite. La somme des termes de la série tend donc vers une limite finie, puisqu'elle reste comprise entre S„ et S„^.i; donc la série est convergente.

Quand on s'arrête au terme ?/„, l'erreur commise est moindre que la différence entre S„ et S„+i, c'est-j-dire moindre que Wb+u ou moindre que le terme qui suit immédiatement celui

auquel on s'arrêle. L'erreur est par excès ou par défaut suivant que ii^+i est négatif ou positif.

Limite vers laquelle tend V expression

mj

lorsque m tend vers l'infini.

Pour trouver celte limite, on suppose d'abord m entier; on peut alors développer l'expression proposée par la formule du binoMie , et, si l'on désigne par S„ la somme des n H- 1 premiers termes, on a

„ , m 1 m(m — '\) 1 mhn — l)()?i— 2) 1 1 m 1 .2 m~ 1.2.0 nr

m {m — l)(»j— 2) ...(m— ?<-hl) 1 1.2.5...71 îu"'

ou, eu effectuant la division des divers numérateurs par la puissance de m qui figure au dénominateur,

m \ mj\ m

mj \ mj \ m