îi

On compare alors S„ à la somme des n + l premiers termes de la série e ; soit e^ celte somme, on sait que Ion a

On reconnaît aisément que, à partir du troisième terme do. CCS deux sommes, chaque terme de S„ est moindre que le terme correspondant de e^, et qu'il a pour limit» ce terme correspondant, lorsque l'on fait tendre m vers l'infini, le nombre n conservant une valeur fixe, il en rcsulle que ^„ est la limite vers laquelle tend S„ quand m tend vers l'infini. On peut donc écrire

^. désignant une quantité qui s'annule pour??i infini.

Mais, la série e élanl convergente, e est la limite vers laquelle tend ^,; lorsque le nombre des termes tend vers l'infini. On peut donc écrire

V désignant une quantité qui s'annule pour n infini.

Si maintenant on imagine que l'on fasse tendre à la fois )u et n vers l'infini, m étant toujours supposé extrêmement grand par rapport à ?j, les deux relations (1) et (2) ayant lieu à la l'ois, on aura en les ajoutant membre à membre

et, comme \). et v tendent alors tous deux vers zéro, il en est de même de leur somme. Il en résulte que la difrérence e — S„ tend vers zéro, et que par conséquent S„ a pour limiter, lorsque m et n tendent tous deux vers l'infini, m étant toujours supposé infiniment grand par rapport à n. On peut donc écrire

lim. ('l-f-^r=e = 2,718-281828....

On peut faire voir maintenant qu'il n'est pas nécessaire de donner à ni des valeurs entières. Quelle que soit, en effet, la

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valeur positive attribuée à m, elle sera comprise entre deux

nombres entiers consécutifs^ et]9 + 1. Or on peut écrire

p-\-]J \ ri' \ pJ

cl ces inégalités subsisteront quanJ on fera tendre m, et par suite p, vers l'infini. Mnis on a

p-\-M \ p 4- V \ ;j Hh

quanlilé qui a pour limite e, car, p-\-\ étant entier, le dividende tend vers e, et le diviseur vers 1. On a aussi

quanlilé qui a aussi pour limite e, car le premier facteur tend vers e, puisque p est entier, et le second tend vers l'unilé.

Il en résulte que ( JH 1 est compris entre deux quan-

lilés qui ont pour limite communes, lorsqu'oii fait tendre m, et par suite p, vers l'iiifini; donc cette quantité intermédiaire

( 1h ) a elle-même pour limite le nombre e.

On peut même faire voir que l'expression proposée tend encore vers e^ lorsqu'on donne à m des valeurs négatives. Ow a, en effet,

mj \m — \l \ m — 1/ \ m — 1/

quantité qui a pour limite e, puisque, m — 1 étant posiin, le premier facteur tend verse, tandis que le second lend vtr<> l'unité.

ArPE.NDIGE. 551