II

Lorsqu'un pohjnome est ordonné par rapport aux puissances croissantes d'une variable h, on peut toujours donner à cette variable une valeur assez petite pour que le premier terme du pohjnome donne son signe à tout le développement.

Supposons d'abord (juc le premier terme soit constant, et que l'on ail à considérer le polynôme

11 s'agit de démontrer que l'oiisemblc des termes qui suivent le premier peut être rendu moindre que A en prenant h suffisamment petit. En eiïet, ?oil M le plus grand de tous les coefficients, en valeur nbsoluc, à partir de B; l'ensemble de tous les termes qui suivent A est évidemment moindre que

ou moindre que

expression qui revient à

et tend vers zéro en même temps que h, et peut par conséquentélre rendue moindre que toute qna-.Uité donnée, en prenant h suifisamment petit. Cette expression peut donc être rendue moindre que A; et, à plus forte raison, on pourra rendre l'ensemble des termes qui suivent A dans le polynôme proposé moindre que ce prem er terme. Donc enfin ce premier terme donnera son signe à tout le développement.

Supposons, en second lieu, que le premier terme contienne en facteur une puissance de /i, et qu'on ait à considérer le polynôme

on pourra l'écrire

Or, d'après ce qui a été démontré ci-dessus, on peut prendre h assez petit pour que la quantité entre parenthèses prenne le signe de A; donc le polynôme proposé aura le signe de A/i", c'est-à-dire le signe de son premier terme.