DIFFÉRENT! ATION DES FONCTIONS IMPLICITES

30, — Considérons d'abord l'équation

dans laquelle y est dite fonction implicite de x. Si x varie de dx^ y variera d'une quantité correspondante dy liée à dx

par la relation

f{x-\-dx, y-hdy)=0,

et, en retranchant ces deux relations membre à membre, on obtient

f(x-h dx, y -i- dy) — f {x, y) == 0 ;

ce qui signifie que la différentielle totale de la fonction f est constamment nulle. Or, d'après ce qu'on a vu au n° 29, cette propriété peut s'écrire

attendu que x est une fonction de x dont la dérivée est 1, et que y est une fonction de x dont la dérivée est y\ On lire

de là

^'' '^- fTKi)'

c'est-à-dire que, pour obtenir la dérivée d^ine fonction implicite de X, exprimée par l'équation i (x, y) =0, il faut prendre la dérivée partielle du premier membre par rapport à x, la diviser par la dérivée partielle par rapport à y, et changer le siane du résultat.

22 PREMIERS ÉLÉME>'TS DU CALCUL LNFLMÏÉSDJAL.

Soit, par exemple, l'équalion

if — 5 oxy -\- x'^ = 0 , on trouvera

f'i {x, y) = — 5 {cnj — X') , f',j (x, ?/) = 5 (y-— ax),

et par suite

31. — Remahque. Lorsque la reiation entre x et y se présente sous la forme o {y) =à{x)y dans laquelle ces variables sont séparées, i application de la règle précédenlc donne

, ^' (x) ihj 'l'(x)

d'oii l'on tire

ç'(y) (hj^='b' [x) dx;

c'est-à-dire que quand les variables x et y sont séparées^ la différentielle du premier membre est égale à la différentielle du second; ce qu'on aurait pu prévoir, car pour que deux fonctions de variables différentes soient constanmient égales, il faut que leurs accroissements infiniment petits simultanés soient égaux.

3a. — Les règles qui précèdent permettent de généraliser facilement le principe sur la différentiation de la fonction a;'", en l'étendant au cas de 7?? fractionnaire ou néiiatif.