I. En effet, soit d'abord
p y = xi,
p et q étant deux nombres entiers. En élevant les deux membres à la puissance q, on ob!icnt
PRINCIPES DE DIFFÉRENTIATION. 2î
et, par conséquent, en vertu de la remarque ci-dessus (31),
d'où
dy /) x''~^ p x^'~^ . y
ou
dx q ' y'"^ q' y^ "*
dx q x^ q
ce qui revient à la règle du n" 16.
Si, par exemple on a,
on en déduira
Si l'on a
on en déduira
lî. Soit maintenant
y = x-"'i on en lire
yx"" —1=0,
et, en appliquant la règle exprimée par l'équatîon (2) du
myx'^--^-hx'".y'=^0'.
'2i PREMIERS ÉLÉMEiNTS DU CALCUL LNFLMTtSLMAL.
iFoù
Il X"
rc qui revient encore à la régie du n° 16. Si, par cxciT.ple, on a
ij = X * , on en tn-e y' = — ^ x * .
Si Ton a
il^-=x , on en tire w == — x - = :,.
33. — Soit maintenant la relation /"(x,y,j)=0, dans laquelle z est une fonction implicite des deux variables x et y. Si OJ et y varient respectivement de dx et de rfy, z variera d'une quantité correspondante dz liée à dx et à c/y, par la relation
f{x + dx, y + Jy, 2 -^ f/^-) =0.
En retranchant les deux relations membre à membre, on aura donc
f{x -h dx,]} -T- u\j,z + d\}) — fix, y, 2-) = 0;
ce qui exprime que la dilTérenlielle totale de la fonction f est constamment nulle.
Or, d'après ce qu'on a vu au n° 28, cette propriété est exprimée par la relation
-I- dx -h -r du + -/- dz=^0.
dx dij "^ dz
(Il faut bien se rappeler que les notations -j-, -j-, -— nercpré-
ClJu (lïj 0/%
scnlent pas des quotients, mais bien les dérivées partielles de la fonction fix,y,z), par rapport à x, à y et à 2-). La relation ci-dessus exprime donc que la somme des différentielles par-
tieiles lie la fonction ï {\ , y, i),poy rapport aux trois variables est éijale à zéro.
On (Joinontreiall de mciucquesi l'on avait/'(a;,i/,2, /) = 0, on en pourrait déiluirc
-j- dx -\- -T-dij -ir -r dz ■+- -/- ut = 0. dx dij "^ dz dt
m. - APPL'CATION DES PRINCIPES DE DIFFERENTIATION ALX FONCTIONS LES PLUS USITÉES
34. — Fonctions algébriques rationnelles. Les fonctions que l'on rencontre le plus souvent sont les fonctions algébriques rnlièies, telles que
( I ) y =:. Ax "• + Bx-'"-^ + Cx-"'-* . . . + Tx + U.
La différentielle d"une somme étant la somme des dillérentiellcsde ses parties (20), il faut, pour obtenir la différentielle dcî/, différentier successivement chacun des termes du second membre. Or, chacun de ces termes est le produit d'un facteur constant par une jmissance de x ; sa différrnlielle s'obtient donc r2], 2 ) en multipliant le facteur constant par la dilférentielle du facteur variable. Or, celui-ci étant une puissance de X, on obtient sa différentielle en multipliant par l'exposant de X, diminuant cet exposant d'une unité et introduisant le facteur dx (16). En appliquant ces divers priiicipes, on aura donc
d>j = [/H Ax"'-^+ (m — 1 ) Bx"'-* -h {m — 2) Cx"'-^ . . + T] (/x ;
le terme U disparaît, attendu que la différentielle d'une constante est nulle (19).
Si l'on a, par exemple,
xJ *t O ^
on trouvera
35. — Après les fonctions algébriques entières, celles qu'on rencontre le plus souvent sont les fractions algébriques ; leur différentielle s'obtient en appliquant la règle donnée au n" 22 (Rem. 1") pour la différentiation d'un quotient.
Si l'on a, par exemple,
,. X- — bx-i-Q
^^^ y — x' — Ax-^r
on obtiendra successivement
{x'--ix+i]dix'-bx^Q)-{x'--^x-hQ)(Ux'-^x-h4) ,
ix- — 4x + 4) \2x — b) — ix" — 5a' + 6) (2j: — 4) , = -^ -. — —, — — 7—, ■ -àx
[x- — A X -\- 'iy-
x^—ix-^A
<lx
[X- — 4x — Ay ou
Dans cet exemple il y a une vérification facile : les deux termes de la fraction (I) proposée admettent le factcura; — 2; si on le supprime, il reste
En appliquant la règle de différentiation d'un quotient, on ol)tient
dii —- 1-^ — —~- ^ =■- 1 ^^1 "^
comme plus haut.
AI'PLICATION DES PRINCIPES DE DIFFÉREMIATION. 27
3«. — Fonctions algébriques irrationnelles. La règle pour la difrércntiatinn d'un radical du second degré peut être facllinicnt établie. Supposons, j)ar exemple, que l'on ait
rosoi:3
il viendra
y = \ (IX- + bx H- c.
n= ax- + bx -h c.
cl, en différentiant y comme une fonction de fonction (25),
