ilu {2ax-+-l>) (Iv

•: - \u 2 \ ax- -hbx^c

c"esl-à-dircque, pour obtenir la différentielle d'un radical du second deyre^ il faut prendre la différentielle de la quantité placée sons le radical, et la diviser par le double du radical.

3î. — On suit une marche analogue pour différenlicr un radical d'indice quelconque. Soit

V étant une fonction de x. On en tirera (52)

1 i i , 1 ^'" du

du =- u ■' da =: -

n u ji

d'où il serait facile de déduire une règle. Soil, i)ar exemple,

y ■=. y af' + bx- + Cl' + (/ , on trouvera

(5 ax^ -^2bx-\- c) dx

dn =

ô V [ax'^ -+- bx- + ex -h (/y*

38. — On peut rencontrer des expressions dans lesquelles les radicaux sont mêlés à des fonctions rationnelles , entières ou fractionnaires.

Soit, comme exemple,

ox'

En appliquant d'abord la règle pour la différentialion d'un

quotient, après avoir mis en facteur =-, on trouvera

1 xul([-i-1x^)s/i—x' — ([-4-2x*)s/i—x^.dx'

ail = ■= . ^ — r-^ —

ou , en effectuant les différentialions indiquées au numérateur,

1 1 5L yl — X

— (1+2j;')v1— a;«.3x' dx

Supprimant le facteur x- commun aux deux termes, et multipliant ensuite ces deux termes par \j i — a;*, il vient

du = - — ■ — ■ === dx.

Effectuant les calculs au numérateur, et réduisant, on trouve enfin

dii = — .

On trouvera de même que

(8x^H-4a;'-!-5)s/a;'— 1 donne par la différentialion

39. — Fondions expo)ientielies et lofjantJimiqiies. Soit maiiilenantà dilférenlicr la foncliori cxponeiilicllc

La mélhode la plus simple consiste à prendre d'abord les logaritlinies des deux membres et à écrire

\o'^ll=zx\oga.

Les variables étant séparées, on peut (51) égaler les dilfércntiellcs des deux membreS; et écrire (17) enconsé(|ucnce

h^e.dti , ,

— î:: ^ — Jog a . ilx ,

d'où

--^ = 7-2-.?/ = r-^.a'^, d ou dij =-r^^ a' (Ix hr^e -^ loge "" logd

dx.

Ainsi, pour obtenir la dérivée de a', il suffit de multiplier

par le lacteur conslanl , — —, ' loge;

Si Ton avait a^=.e^ il viendrait

,=. et ;!=.,

Ainsi la fonction e* jouit de celte propriété qu'elle est égale à sa dérivée.

40. — L'exponentielle y = a~^ peut être ramenée à la précédente en posant — 0?= h; d'où du = —dx. On a alors

par suite

* iosce iojîd

30 PULMIEP.S éléments du calcul mFiiNlTÉSLMA.L. j

Si a c'iait égal à e, on aurait

ainsi la fonction e~* est égale et de signe contraire à sa déri- \ce.

41. — On peut avoir en exposant le produit de x par une — constante. Soit, par exemple, tj = a'^'. On posera u = mx, f d'où du = mdx. On aura alors

«.7 = — — ft" du = .—2- a»"* . î}!(fjs. loge loge

On trouverait de môme que ij^cr""^ donne par la diricrcntiation

d:j = — H— fl"""" mdx.

^ loge

On rencontre souvent des expressions de la formo

On en lire, en appliquant les règles précédentes,

dij=m {Xe"' —'Be-'"')dx.

42. — On a vu au n° 17 comment on difiérentie le loctarillime de x; mais on peut avoir à différentier le logarithme d'une fonction de x, par exemple,

y = log'(j: + v^'H-a;-).

On posera

u = x-h\\-i-x-^ d'où f/» = (i+' . V^-^'

\ sl+x-/

on aura alors

y = \o-'u, a ou il!j = — = ^ — - ^ — ,

" X-{-\i\-hx-

. {\ [ -h X- ~r- x) (U dx

[x -+- V 1 -hx-) \i-hx- \ l -f- x"-'

43. — On pourrait élre embarrassé pour différenlicr la fonction ij=x^. Il suffit pour cela de prendre les logarithmes népériens des deux mcnibres, ce qui donne

loi;'y = x' log'a;.

Les variables étant séparées, on peut égaler les différentielles des deux membres (51), et l'on trouve

d'où

-- = ( log' X -{- X .-] (Ix^ (1 + h'j^'x) dx ; hj = y (1 -i-log'a:) dx=^x^\ -\- log'x') dx.

44. — Fonctions circulaires . On a vu (18) que la différentielle de sin x est cos xdx.

Soit main'enant y = cos x. Pour différentier cette fonction, on pourrait suivre une marche analogue à celle du n° 18; mais il est plus simple d'opérer de la manière suivante. Posons

x=.[^ — M, d*où u=^'^ — Xj et du = — dx.

Nous aurons

î/ = cos ([j —u\ = s\nu.

■ 32 PRE511ERS ÉLÉME^'TS DU CALCUL LNFLNUrÉSLMAL. I

et par conséquent I

dy = cos u du = cos L^ — x). ( — dx) = — sin x dx.

Soit î/ = tanga;. On pourra écrire

sin X

et, en appliquant la règle pour la diflërentialion d'un quotient (22), on trouvera

co^Xjh'\nx — s'mx.dco^x cos^ic H- sin^j; , dij = i = T- dx

cos' X Soit de même y = colx: on écrira

cos X

d*où

sinj^.rfcosj; — cosxds\nx — sin* a; — qos^x ,

du = ^-1 = ^, "J;

•^ sur a; sur a;

siir.c

45. — La sécante et la cosécante sont rarement employées; mais la différcntiation de ces fonctions n'offrirait aucune difficulté. Soit, par exemple,

Î/ = SCC X = .

•^ cos a;

On posera

Mr=cosa:, d'où du = — sina^rfx.

On aura alors

APPLICATION DES PRINCIPES DE DIFFÉREiMlATION. 35

et par consé({uent

ou i)icn

, s\nX(Ix

ail = 1^ — .

cos- X

Pour y = coscca;, on trouverait

, cos X dx

sur X

46. — Au lieu des l'onclioiis circulaires directes dont nous venons de parler, on peut avoir al'faire aux l'onctions circulaires inverses.

Soit, par exemple,

î/ =:arc.sin a;; on en déduiia d'aliord

X = sin II, d'où dx = cos y dij^ ou

dx = V 1 — ^iii^i/ . dij = v'I — ^' • ^'y ; d'où

, dx

Soit, en second lieu,

y= arc. cos j;; on en déduira

X = cos y , d'où

dx = — sin ydij^^ — y 1 — cos- ]} .d]}^

ou ' . [. ^ "

dx=^ — vl — ^' ' '-^li ■>

54 PREMIERS ÉLÉ.ViEMS DU CALCUL LNFLXITÉSLMAL

d'où

dy =

différenlielle dont la forme ne diflère de la précédente que par le signe.

Soit encore

y = arc tang x ; Dn en déduit

d'où

ou d'où

Soit enfîn on en déduit d'où

X = tan:: y ; dx= — 7-=(l + tang* y) du,

dx^{{ -hx-)dy ,

, dx dy = -. .

y — arc cot x ; X --^ cot y.

d'où

dx = ^- = — ([-{- cot* y) . du;

dxz=—[{ -\- X*) dy , dx

dy = —

différentielle dont la ^orme ne diffère de la précédente que par le signe.

4». — On peut rencontrer des fonctions analogues aux précédentes (45, 40), mais dans Ics(|uelles x e.^t multiplié par un facteur constant.

Soit, par exemple,

y = sin mx;

d'après la règle de la difiérenlialion des fonctions de fonctions (25), ou, en prenant mx pour variable, on trouverj

dy = cos mx . dmx = m cos mx dx ;

c'est-à-dire qu'il faut opérer comme au n° 45, et multiplier

le résultat par m.

Soit de même

n = arc sm - :

^ rt '

eu appliquant les mêmes règles, on trouvera

a . - - dx ,

, a a dx

dij =

On trouvera semblablement que

y = tang mx

donne

et que

donne

, mdx

arc tang -

d .- , a aux

dy=-