Enfin les fonctions circulaires peuvent se trouver

mêlées avec des fonctions algébriques ou logarithmiques. Nous

en donnerons deux exemples.

Soit d'abord

y = c — log' cot| X.

Posons

i;X = V , et col V ^=u; il viendra

y =^c — lug'/<; par conséquent

, du au=- ;

mais

et

, dv

du = —

sin' V

dv =-\ dx; il vicuùîa donc, en substituant

— Ulx

, sin^ r^ dx dx

dy =

coL vx 2 sin I X cos | x sin x' Soit, en second lieu,

î/ = R arc . cos (1 — j,) — \hl[\x — x^. Posons

A ^ R arc cos ( 1 — fv ) » « = 1 — p , B = v 2 lia; — x*;

il viendra

î/ = A — B , d'où dy = d.\ — f/B ;

API'LICâT[ON des principes de DIFFÉnENTIAT.ON. 57

à^R arc cosM, d'où

ou

Hdx

' s'iRx-j;*

et

(2R — 2x-)f/x {\\—x)dx

2^2l\x — x^ s^2l\x — x* par conséquent

^R-(R-.:) ^^^ ^ja^^^^^ l/Z^

On peut, à l'aide des règles ci-dessus établies, différenlier de même toutes les fonctions d'une variable.

49. — Les fondions composées peuvent toujours être différentiées directement comme des fonctions delà variable indépendante X, et il y a rarement avantage à appliquer la règle du n° 29, qui nous a servi surtout à établir la métbode de différentialion des fonctions implicites. Cependant, pour compléter ce que nous avons à dire sur ce sujet, nous traiterons un exemple de fonction composée.

Soit

relation dans laquelle on suppose u=^e^ et v^^sinaî. On aura d'abord

^ .-. ./irr^^ 1 et f = -^^-î^.

du u^ dv \\—v- î*

,^8 PREMIERS ÉLÉMEiNTS DU CALCUL INFliNlTÉSIMAL.

Pnr conséquent

(2) dz= (jT^^^ — -\ du — (-F=^= -h-]dv.

y u-j \v 1 — v uj

Ce résultat peut être facilement vérifié. Si l'on y met pour u cl V leurs valeurs, en remarquant que,

du^^e'^dx cl dv=^Qo?>xdx^ on trouve

, / sinj;\ - fe^'è\\^x \\ ,

dz = cos ic r— ehlx — 1 — ; co? ic dx;

\ 6'^ ) \ cosic e^ j

ce qu'on peut écrire

(5) dz^{e' zç)%x — e~^'è\v\x — e^ûwx — e~^cosx) dx.

Or si dans la relation (1) on met pour m et v leiirs valeurs, on a