I. — FONCTIONS EXPLICITES D'UNE VARIAELE

50. — La dérivée d'une fonction de x étant elle-même une fonction dea;, on peut en prendre la dérivée ; on obtient ainsi ce que l'on appelle la dérivée seconde de la fonction. La dérivée première étant représentée par f [x] ou par if , on représente de même la dérivée sccoridr" par f" [x) ou par y".

Cette seconde dérivée étant encore uni; fonction de x, on peut en prendre la dérivée ; et l'on obtient ce que l'on appelle

DIFFÉRENTIELLES SUCCESSIVES DES FONCTIONS. ô\)

la dérivée troisième, (jue l'on représente par /'"' [x) ou par y'".

En prenant la dérivée de la dérivée troisième, on obtiendiaii la dérivée quatrième, (pie l'on représenterait par f" {x) ou par ij'\ et ainsi de suite,

51. — Mais on emploie encore, pour représenter ces dérivées successives, uneautie notation qu'il faut connaître. On a vu (14) que la dérivée première peut être représentée

par -p , et porte alors {dus particulièrement le nom de coefficient différentiel. Par analogie, on peut représenter la dérivée seconde y", c'est-à-dire la dérivée de y', par-y^ ; et , en

mettant pour y son expression -p, on a

„ dx.

^ ~ dx

Or, dans le cours d'un même calcul, l'accroissement infiniment petit dx attribué à la variable indépendante est toujours considéré comme constant, ce qui revient à supposer que cette variable croit en progression arithmétique dont la raison est dx. L'expression ci-dessus peut donc s'écrire

Au lieu d'écrire deux t'ois le signe d de la différentiatioii, on convient de ne l'écrire qu'une fois ; mais on i'alfectede l'indice ^, et l'on écrit

Sous cette forme, la dérivée seconde prend plus particulièrement le nom de coefficient différentiel du second ordre.

40 PREMIERS ELEMENTS DU CALCLL INFIMTÉSIMAL.

De même on peut représenter la dérivée troisième y"% oii la dérivée de y", par

df ,dry

(Ix 'dx*-

dx

cl, puisque dxesl regardé comme constant, on peut écrire /// d d' y

On n'écrit le signe d qu'une fois en l'affectant de l'indice', et Ton a

c'est le coefficient différentiel du troisième ordre.

En général, on représente d'une manière analogue la dérivée d'un ordre quelconque n ; et l'on écrit

i.y d'il

. ^ dx' '

c'est le coefficient différentiel de l'ordre n.