DIFFERENTIKLLES SUCCESSIVES DES FONCTIONS

quantilé constanle; en sorte que la dérivée de l'ordre m+ 1 est nulle, et (ju'il en est de mémo de toutes les suivantes.

On en conclut qu'une fonction algébriqueenlière dudc|^ré »i n'a pas plus de m dérivées successives ; la dérivée de l'ordre m est constanle, et toutes les suivantes sont milles.

Mais, pour toutes les autres fonctions, le nombre des dérivées successives est indélini. Si, par exemple, on a î/ = e^, on en déduira

dx ' dx' ' dx'^ '

et ainsi de suite ; toutes les dérivées sont égales entre elles et à la fonction e^.

Si l'on a ij:=:sinx, on en déduit

dii d-ii

-r^ = cosx; -r-^ — — smx ;

dx dx-

(Py d'*ii

— ^=: — cosj;; -^ z= 4- sinj;, ...;

dx^ d^x

les dérivées se reproduisent périodiquement dans l'ordre

-hcosa;, — siiix, — cosjc, -f-sinj;.

enverrait de même que les dérivées de e'^ ont toutes pour valeur absolue e~^, mais qu'elles sont alternativement affectées du signe — et du signe -\- , et que les dérivées successives de cos x se reproduisent périodiquement dans l'ordre

— sinj;, — cos^, H-sinx, +cosx.

53. — La notation des différentielles successives se déduit de celle des dérivées.

Les différentielles successives de y sont :

dij, d.dtj ou d^ij, d.d-y ou d'y,

et ainsi de suite.

Si maintenant on se rappelle que la différentielle d'une fonc-

lion de x est égale à sa dérivée multipliée par dx, et que le

facteur dx doit être considéré comme constant, on aura

dy = f [x) dx = '^-£dx,

d'y = f" {x) dx dx = y dx\

d'y = f" {x) dx\dx = ^ dx%

et ainsi de suite, relations qu'il ne faut pas confondre avec des identités, attendu que

dl c^ydry

dx ' dx* ' dx'^ ' ""'

sont des notations spéciales et non des quotients. On a, en général,

d^y = -r^ dx", '^ dx" '

et l'on voit que la différentielle de l'ordre n est un infiniment petit du même ordre, puisque le I une dérivée, est généralement fini.

d'i II petit du même ordre, puisque le facteur -~ » qui représente

ilJb

§ 2. — DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES DES FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES

54, — Soit /"(m, v) une fonction de deux variables indépendantes. On a vu que sa dérivée jmrtielle (26) par rapport

à u est représentée par y-. Cette dérivée étant, en général,

elle-même une fonction de u et de v, on peut en prendre la dérivée partielle par rapport à m; el, conformément à la notation adoptée pour les fonction d'une variable (51), on la re-

DIFFÉRENTIELLES SUCCESSIVES DES FONCTIOiNS. 45

présentera par -ji Celle dérivée seconde étant une fonction

de u et de i', on pourra en j^rendre la dérivée partielle par

cPf rappoi t h u, et Ton aura la dérivée troisième -p: ; et ainsi de

suite.

On verrait de la même manière que les dérivées partielles des divers ordres prises par rapport à v sont représentées par

dv ' dv-'' dv'"' '"

Mais, après avoir pris la dérivée partielle par rapport à u,

-j- , comme cette dérivée est une fonction de u et de u, on peut

en prendre la dérivée par rapport à v ; on la représente, par

analogie, par -, — --• " ' ' diidv

On pourrait, au contraire, après avoir pris la dérivée de f{ii,v) par rapport à v, -^ , prendre la dérivée partielle de

celle-ci par rapport à u ; on la représente par . . .

Plus généralement, on peut, après avoir pris p dérivées partielles successives de /"(w, v) par rapport à m, prendre ensuite q dérivées partielles successives de la dernière par rapport à i'.

Le résullat final de ce calcul est une dérivée de l'ordre p -h q, que l'on représente par

d'f duF dv" '

en remplaçant, pour abréger, ]; -+- q par n.

Si, par exemple, on a pris deux dérivées partielles successives par rapport à u, puis trois dérivées partielles successives par rapport à v, le résultat tînal sera représenté par

d'f ^ du^ dv^'

55. — Dans ce genre de calcul, l'ordre des dtfférenliations est indifférent.

On l'ait voir aisément, par exemple, qu'on a

d'f d'f du dv dv du

En effet, on a vu au n° 12, que si l'on a ?/ = /" (x) , on en tire

dij =ifix-{- dx) — f (a;), d'où

dij fix-^ dx) — f{x)

dx dx

Si donc on a 2= f [u, i'), et que l'on considère d'abord le second membre comme fonction de u, c'est-à-dire v comme constant, on aura

-g. dz f{u-^du,v) —f{u, v)

^ ' du~ du

Si l'on veut obtenir la dérivée de cette expression par rapport à u, il faudra, d'après la règle exprimée par la relation (i) elle-même, changer, dans le second membre de (2), la variable v en î; -f- dv, retrancher du résultat la valeur primitive de ce second membre, et diviser la différence par Ji', ce qui donnera (5)

d-z f{}i-ir-du,v-^di'] — f(u,v-hdv)—f{u-hdu,v)-^f(u,v)

du dv du du

Supposons maintenant que l'on fasse le calcul dans un ordre inverse. En ne faisant varitr d'abord que v, on aura

dz f{u,v-{- dv) — f{u, V)

dv dv

Pour obtenir la dérivée de cette expression par rapport û u, il faut, conformément à la règle exprimée par la relation (1),

DIFFÉREiMlbLLI s SUCCESSIVES DES FOKCIIO.NS. 45

changer, ciiiiis le second membre, la variable u en u~\-chi, rctrancber du résidlat la valeur primitive de ce second membre, et diviser la dillereiice par da, ce qui donne (4j

d-z fin-hdii,v-+-dt')—f{ii-^dii,v)—l'{u,r-hdv)-hf{u,v)

dvdii dvda

Or, si Tûii compare les seconds membres drs relations (5) cl (4), on reconnaît tju'ds ne dillèrent que par l'ordre des termes ilu numérateur, ou par l'ordre des facteurs du d'?noiiiinateur; ils sont donc égaux, et l'on a

dndv dvdu

Ce théorème étant apjdicablc aussi bien à une dérivée qu'à la fonction /'(?<, v) elle-même, il en résulte qu'on pourra toujours inteivertir l'ordre de deux dil'férentiations consécutives quelconques, et amener par conséquent les diflerentiations à se succéder dans uu ordre quidcouque; ce qu'il s'agissait d'ét;il)lir.