Cela posé, on a trouvé au n" 27 que la relation
donne
(^> "^= al "" + *""'
dz désignant la différentielle totale de ([il, v).
Si l'on dillérentie les deux membres en faisant tout varier, l'application des règles relatives à la différenliation d'une somme et d'un produit donnera
,6) ,,.=„.(£) rf„ +;;/-<p„+rf. g:) ,,„+i:,;.„.
»»••., I- f ■ df df , , , . ,
Mais SI Ion applique aux tondions ' et '- la règle exprimée
par la relation (5), on obtient
'\duj dii^ dtiilv'
et
fdf\ d'f , d'f , . -y- = i-^- du + -7-^, dv.
\dvj avau dv-
Snbstituant ces valeurs dans la relation (6), et remarquant
que . ' = , ' , on trouve ^ du dv dv du
7 d-z = -j-^, du--{- 2 -7-V rf'"^t^ + -A dv -+- ' dhi + / d"v . ' dir dudv dv^ du dv
su. — Pour obtenir d^ z^ il faudrait diflérentier la relation (7) en faisant tout varier; la différentiation introduirait:
r les quantités d. (j^;,) , rf.(^^) , rf.(^() , dont on obtiendrait la valeur en appliquant à ces fonctions la règle exprimée par l'équation (5), et 2° les quantités d i y ) et di -j \
déjà obtenuf s plus haut; en faisant les substitutions, et tenant compte du théorème du n" 55, on arriverait à la valeur de d^z. On suivrait une marche analogue pour obtenir d'^z et les différentielles suivantes. Mais le calcul va toujours en ?e compliquant, et, au delà de d^z, les résultats ne sont pas utiles dans les ajiplications ordinaires.
REMAr.QUES. — I. Dans le cas particulier où u et v sont remplacés par X et par î/, et oiî Ion a
on pose souvent
df df (lf d^ (Pf
dx~'^^' cly~^^' fte^~'"' dxdij'~^' dy'~~^'
DIFFÉIŒMIELLES SUCCESSIVES DES FOiNCTiOKS. i7
Les équations (5) et (7) clevienneiit alors
\ ' I f/2 2 = rdx^ ■+- 2x (Ix dy + t dif + ])d' x + qd' y .
Ces notations sont adoptées par beaucoup (l'autciirs.
II. Si les variables x et y, au lien d'être indrpcndantes, étaient fonctions d'une même variable indépendante a, la variable 2 serait aussi fonction de a, et l'on aurait
dx , , dy , ,, d-x , , „ d'y , dx =-j- dj., du = -r dy., d' x= 7-, dx-, rf* y = -j^, dx-, dx ^ dx dx^ ria*
dx-
En substituant ces valeurs dans la relation (8) et divisant par dx-, on trouve
^•^ (ia^-' W/a j +-^/a SI^Hf/aj ^ ^\lx^ ^ '^ dx^'
