DIFFÉRENTIELLES SUCCESSIVES DES FONCTIONS IMPLICITES

59. — Soit f{x,y)z=0, la relation qui lie deux variables ic et y, la première étant la variable indépendante.

Posons d'abord

z=f{x, y), nous en déduirons, en vertu de l'équation (10) du n» 58.

dh d'f ,, , d-f , , d'-f „ df „ df „

Mais puisque la fonction f[x, y) est constamment nulle, il

en est de même de ses dérivées successives (19. Rem.) : on a

d^z donc -r-, = 0. En même temps, x devenant la variable indédx-

pendante, onaa;'= 1 eta;" = 0; l'équation ci-dessus devient

donc

^ ' dx- '' dxdy -^ dy- -^ dy

11 faut remarquer que cette relation peut se déduu'e de la relation

établie au n° 50. 11 suflit pour cela de diflérentier le premier membre en faisant tout varier, et en regardant y' comme une fonction de a;, et d'égaliT à zéro la dérivée ainsi obtenue. Si l'on opère de même sur la relation (11), c'est-à-dire si l'on diflérenlie le premier membre en faisant tout varier, et en regardant y' et ^" comme des fonctions de x, puis qu'on égale à zéro la dérivée obtenue, on trouve

fà'f - , d'f „ d'f ,,d-^f

(1^) [dî^-^'''^7h^j-^''^'dldy^^y w

^"^ [dxdy^-' dy'jy ^y dy-"^'

DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SEIilES. 49

équation qu'on pourrait obtenir aussi, mais moins simplement, en suivant la marche induiuée au n°57, changeant ii et i; en j; et en y et remarquant que puisque x devient variable indépendante, on a

Ou voit que la première dérivée est donnée parla rehition (12) ; cette dérivée étant connue, on substituera sa valeur dans la reUUion (11), qui donnera y"; les dérivées y' cl y" étant connues, on substituera leurs valeurs dans la relation (iô), qui donnera y'".

Les dérivées suivantes ne se rencontrent pas dans les applications ; mais elles s'obtiendraient par des calculs analogues. Pour obtenir î/'^, par exemple, il faudrait égaler à zéro la dérivée du premier membre de l'équation (li) prise en faisant tout varier et en regardant y', y" et y"' comme des fonctions de x.