I. - FONCTIONS D UNE SEULE VARIABUE

60. — Étant donnée une fonction de x^ que nous représenterons par f [x), on donne à la variable x un accroissement h, et l'on se propose de développer f[x-\-h) en une série ordonnée suivant les puissances croissantes de h ; en d'autres termes, on se propose de troi. ver une série de ce genre qui puisse remplacer la fonction f{x-\-h). Il faut pour cela que la série obtenue soit convergente [xo-^. l'Appendice), et qu'en prenant un nombre suffisant de termes, on puisse, quelque soit x, approcher autant qu'on le voudra de la valeur de f{x-\-li)-

Cl. — Si la fonction proposée est algébrique et entière par rapport à x^ le développement demandé est facile à obtenir.

Il suffit de se rappeler que, dans le développement d'une puissance entière du binôme x-\-h^ chaque terme se forme du précédent en multipliant par l'exposant de x dans ce terme, en diminuant d'une unité l'exposant de x, en augmentant d'une unité l'exposant de h, et en divisant enfin par le nombre des termes qui précèdent celui que l'on veut former. Ceci revient à dire que, dans le développement, le coefficient de chaque puissance de h est égal à la dérivée par rapport à x du coefficient précédent, divisée par le nombre des termes qui piécèdent celui que l'on considère. Ainsi le terme général du développement de {x-+-h)"\ savoir :

m(m— l)(ffl-2)...(»i — »+l)

donnerait d'après cette règle

ce qui est bien le terme suivant du développement.

La même règle subsisterait évidemment si la puissance de x-\-h que l'on développe était multipliée par un facteur constant ; car ce facteur affecterait tous les termes du développement sans altérer la loi suivant laquelle se forment les coefficients successifs des puissances de h.

c«. — Cela posé, soit

f{x)=kx'"-hYix"'-'-{-Cx'^-\..-{-lx-h\^, changeons x en x-\-h, \\ viendra

ou, en développant et ordonnant par rapport à /t,

DÉVr.LUi*l'iMEiM DES FO.NCTlOiNS EA SÉIUES.