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52 PRLMIERS ELEMENTS DU CALCUL INFLMTESIMAL.
Or, les termes qui forment la première colonne verticale
reproduisent la fonction proposée /"(a;). D'après la remarque
aite pins haut, chacun des termes qui forment le coelficient
do 11 est la dérivée par rapport à x du terme qui lui correspond
dans la colonne précédente, divisée par 1 ; l'ensemble de ces
termes est donc la dérivée def{x) par rapport à x, divisée
f'ix) par 1, et peut conséquemment s'écrire . . Chacun des tcr-
mes qui forment le coefficient de h* est la dérivée par rapport
à a^ du terme qui lui correspond dans la colonne précédente,
divisée par 2 ; l'ensemble de ces termes est donc la déiivée de
f'(x) , . f'ix)
— — divisée par 2, et peut s'écrire xir* ^^ verrait de même
que l'ensemble des termes qui forment le coefficient de h^ est
la dérivée par rapport a x de - ' , divisée par ù ; et peut
f" (x) s'écr re - — )-=■. Etain>i de suile ; on a donc 1 ."l.ù
Çîe développement n'a qu'un nombre limité de lermes , parce que la dérivée d'ordre m est conslante et que toutes les suivantes sont nulles. Le nombre des lermes du développement est donc m+i ; on l'écrit ordinairement
l[x-rh)=f{x)+f'[x)\+i''{x)-^^-rr{x)^ + ...,
Cette formule est connue sous le nom de formule de Taijlor.
Si, par exemple, on a
f[x)^x^ — ox^ -+-3^- — 7a; 4-4,
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES, on trouvera successivement
f {x)= ix^— {)x^+\Ox — ly
l"'{x) = ^ix
et par suite
f{x-hh) = x''-+- 4x' — ox' — 9x'
—Ix— 7
ou
:ix'
-2Ax
h+Qx'
—dx
-h^x^'-+-\Ox
— Ix — 7
63. — Il était naturel de rechercher si les ('onctions autres que les fonctions algébriques enlières peuvent êlrc développées d'une manière analogue. On démontre de plusieurs manières que la série de Taylor subsiste toutes les fois que la fonction f(x) et toutes ses dérivées conservent une valeur finie entre les limites répondant à x ei à x-{-h, h étant d'ailleurs une quantité très-petite. Nous adopterons la démonstration suivante, qui est, à quelques détails près, celle de Laj^rang(>.
Il faut d'abord établir le lemme suivant:
Toute fonction o (h) qui s'annule avec la variable h, est de même shjne que sa dérivée pour des vaitu '*•• de h suffisamment petites. En effet, lorsijue k croit à partir de zrro, la valeur absolue de ? (/i) est nécessairement croissante, et
G {h+- a/i) est de même signe que o [h) pour h suffisamment pelit. Or on a (13)
,i\ in\ y 9 {h -h Ah) — o {h)
Si op {h -\- Ah) e\ G [h] sont tous deux positifs, la différence 0 {h -{-Ah) — ç [h) est positive ; et, comme a^ est positif, le second membre de la relation (1) est positif; il en est de même à la limite, c'est à-dire pour Ah infiniment petit; donc ç' (h) est positif, c'est-à-dire de même signe que g [h).
Si 0 (/iH- Ah) et © [h) sont tous deux négatifs, la différence z {h -h Ah) — 9 [h) est négative; donc 9' (h) est négatif, c'està-dire encore de même signe que 9 {h).
64. — Cela posé, considérons une fonction /"(x), finie et continue, dont toutes les dérivées restent finies depuis la valeur X de la variable jusqu'à la valeur x -{-h peu différente. On pourra toujours écrire
-^ f" (^) Tir-- + • . • H- p-" (^) , o-\ r -^^n
la letlre R„ désignant une quantité définie par la relation (2) elle-même, et à laquelle on donne le nom de reste. Il s'agit de faire voir que, dans les conditions indiquées ci-dessus, ce reste peut être rendu aussi petit qu'on le voudra en prenant un nombre de termes suffisamment grand.
Ce reste est une fonction de a; et de /i qu'on peut toujours mctlre sous la forme
Pour des valeurs déterminées de x et de h, R„ a lui-même une valeur déterminée, et d'ailleurs finie comme le montre sa va-
DÉVELOPPEMEiNT DES FO.NCTIO.NS E.\ SÉRIES. 55
leur liiéc de (2). Nous la sui)[)Oserons d'abord positive pour fixer les idées.
Soient A et B deux nombres comprenant entre eux F [x, h). Si dans la relation (2) on met à la place de F (j;, h) un nombre plus petit A, l'égalité (2) se changera en inégalité; et, en passant tous les termes dans le premier membre, on aura
Le premier membre de cette inégalité est une l'onction de h qui s'annule avec h: en vertu du lemme démontré plus haut, il est donc de même signe que sa dérivée par rapport à /i; et l'on a
Le premier membre de cette inégalité est encore une fonction de h qui s'annule avec h ; il est donc de même signe que sa dérivée par rapport à h ; et l'on a
En continuant ainsi, on arrive, après n diiférentialions, à l'inégalité
(7) f'^{x-hh) — A>0.
Supposons maintenant que dans la relation (2) on rem-
place F [x, h) par le nombre plus grand B, on aura l'inégalité
I / \ / 1/2.0 1.2.o...nJ
En raisonnant et opérant sur cette inégalité comme sur l'inégalité (4), on verra qu'après n différentiations par rapport à /i, on arrive à l'inégalité
II résulte des relations (7) et (9) que f"{x-\-h) est compris entre A et B, résultat qui subsistera encore si l'on prend pour A et B la plus petite et la plus grande valeur que puisse prendre /" [x -+■ h) quand h varie de 0 à /i.
Mais si les relations (7) et (9) sont satisfaites, on voit aisément qu'en vertu du Icmnic invoqué toutes les inégalités ■ précédentes sont également satisfaites, et qu'on a en particulier les inégalités (4) et (8), ce qui suppose que A et B comprennent entre eux F [x, h). La fonction F [x, /i) est donc comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de f"{x-\-h); elle est par conséquent égale à l'une de ses valeurs intermédiaires, et l'on peut poser
(10) Y {x,h) = f''{x-hOh),
0 désignant un multiplicateur inconnu, mais compris entre 0 et 1.
Nous avons supposé R„ positif: s'il était négatif, les raisonnements demeureraient les mêmes, il n'y aurait de changé que le sens des inégalités ci-dossus écrites; on parviendrait donc encore à la relation (10). Il en résulte qu'on peut écrire
DÉVELOPf'EMI NT DES FONCTIONS EN SÉRIES. 57
Cette formule peut encore s'écrire :
1 dx' [.'2.0
65. — Rlmarqle. Cette formule donne la valeur de l'accroissement Ay d'une fonction correspondant à l'accroissement Ax de la variable. Il suffit d'y remplacer h par AX, cl de remarquer que f (x -\- h) — f (x) devient alors
/' {x -+- Ax) — f (x) ou Ajj.
On a donc
df d^f AX- d^f Ax^
■^ dx dx- 1.2 dx' 1.2.0
Si àx devient infiniment petit, il en est de même de aij, et l'on peut écrire
df , d'f dx^ d'f dx' ^ dx dx- 1.2 dx' 1.2.0 '
Ce n'est donc qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre qu'on peut écrire
d\j ^=^ -j- dx, ou dy = y dx.
Cette dernière relation n'est donc une identité qu'en apparence,
C6. — Remav.ques. I. Si, comme on l'a supposé, f{x) et toutes ses dérivées conservent une valeur finie de la valeur j; à la valeur x H- h, le reste R„ lend vers zéro à mesure qu'on j)rcnd un plus grand nombre de termes. Cela est évident pour /t<Cl? ])uisqne /i" peut devenir plus petit que toute quantité donnée en prenant « suffisamment grand. Mais cela
58 PREMIERS ÉLLMEMS DU CALCUL INFIMTÉSLMAL.
est vrai encore pour h quelconque. Car soient p et p H- 1 deux nombres entiers comprenant /«, la fraction
ourra s'écrire
