p + 2 'jj-i-o

Or

est moindre que

^ Il y-p

et comme ;) + 1 est plus grand que h, la puissance n — p de

la fraction peut être rendue aussi petite qu'on voudra

en prenant n suffisamment grand. Le reste K„ renferme donc un facieur qui tend vers zéro ; donc il fend lui-même vers zéro, puisque par hypothèse, les autres facteurs sont finis

II. Le lemme démontré au n" 65 est toujours vrai pour h très-petit ; mais il peut subsister pour une valeur finie quelconque de /i, si, de 0 à ^, la dérivée s' (h) conserve son signe, et que 9 (h) continue à croître en valeur absolue; car ce sont les seules conditions nécessaires pour que la démonstration du lemme demeure applicable.

69. — En répétant les raisonnements du n° 64, on démontre qu'on a

— f" [x] r-^ + ..., ± p (o; — ô/t) JT^^ — ■

DÉVKLOPPEMENT DES FOxNCTIONS EN SÉRIES. 59

formule qui ne diffère de la formule (H) qu'en ce que h a été changé partout en — h.

Les formules (11) et (12) constituent la série de Taijlor. Elles sont applicables à toutes les fondions dont les dérivées successives, ainsi que la fonction elli'-mème, conservent une valeur finie entre les limites x — /«et x-hh.

68. — Le reste R„ de la série de Taylor est susceptible de plusieurs autres formes ; nous ferons connaître la suivante dont on a quelquefois besoin.

L'accroissement h donné à x étant arbitraire, on peut le choisir de manière que x + h soit égal à une constante c, et qu'on ait a;-f-/j:^c, d'où fte -4-f//i:^0. Le reste R„, qui est généralement fonction de x et de //, devient dans ce cas fonction de a; et de c — x^ c'est-à-dire qu'on peut le représenter |)ar o [x). On a donc

(1) /■(x+h)=f(d=f(x)+rWy^rWï^

+ '"' <■'■> 1X5 + - + '■""' (■^■' i.^.'''»'-ii + ? <■"> •

Différentions en faisant varier x et /i ; les ternies se réduiront deux à deux en vertu de la relation dx-i-dh = 0, et il restera

' ^ 1.2.o...(/j — 1) ' ^ ' d'où

(2) ,-w=-rw^,3^"„^^.

Mais on a, par la formule de Taylor, bornée au premier terme,

ç (a: + /t) = 0 (rc) -h ç' [x + e/i) h

d'où

ç(a;)=9 {c) — hz'{x-\-^h).

Or, il résulte de la relation (1) que o {x) s'annule pour /i=:0, ou ic = c ; on a donc ç (c) ::=0, et il reste

(5) o[x)^ — ]io{x-\- 6/i) .

Dans la relation (2), changeons x en ^ + 0/i; comme ]i égale c — x^ h se changera en c — x — ô/i ou en h — 6/i, ou enfin en h{\ — 6), et il viendra

et, en substituant cette valeur dans la relation (5),

Telle est la seconde forme qu'on peut donner au reste R„ dans lo développement de f{x-\-h).

S'il s'agissait du développement de f{x — /i), on trouverait de même

69. — Djns la série (11) on peut remplacera par h et h par ic et écrire

f{h+x)=nh)+f'{h)j+f"{h)^^+r[h)-^-.^

^ ^ lM.o...n

Si alors on fait /i=0, on obtient

\/-(x)=/'(0)+r(0)|+ r(0) -^+r (O) ^+eic.

' ^ M.'2.o...n Cette formule est connue sous le nom àa série de Madannn.