DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

îO. — La série de Taylor peut être étendue aux fonctions de deux variables.

Étant donnée une fonction de deux variables f{x,y), on y change x en x-\-h, et y en y + fc, et l'on demande de développerf(j:; + /t, y 4-/»") en série ordonnée suivant les puissances croissantes de h et de A".

Eli considérant d'abord /"(a;-!- /i, y + fc) comme une fonction de X, c'esl-cà-dire en regardant y comme constant, on pourra appliquer la série de Taylor (64, 11 bis)^ et écrire

^ cl- f{x, y -+- k) /i* ^d^f{x, y + k) /i^

dx- "1.2 dx^ ' 1.2.5 "^

Si maintenant on considère comme des fonctions de y seul les expressions

/Vri,-i-t\ df[x,y+k) d'f(x,y-hk) d'f{xjj-hk)

n^.y+i^), di '- d^- ' dF^ ' •••'

on aura, en appliquant de nouveau la série de Taylor , df{x,y)k , d'f[x,y) k-

f{x,y-hk)=f{x,y)

dy 1 dy^- 1.2

dy^ 1.2. ",•••'

62 PREMIE'ÎS ÉLÉMENTS DU CALCLL INFINITÉSIMAL.

df{x,ii-\-k)__df{x,y) , d-f{x,y) k d^f{x^y) k^ . dx ~~ rfx "^ dxdy 'î ^ dxdy^- '1.2 '*'■

d^f{x,y-hk)^d^f{x.y) ^ d^fjx^y) k ^d^f(x,y) fc^^ dx^ dx- dx-dy 'l dxhkf '1.2 '""'

d'f{x,y^hk)^d:i{xAj) ^ d'f{x,y)k ^ ^^^ dx^ dx' dx'dy 1 "'**

Substituant dans la relation (1), et ordonnant, on obtient

/(x+h.y+fe)=f(.,,) + ^j+ djPO+ d? 1:2:3dfh J^kh d'f ¥h dx\ dydx 1 dyhlx 1.2

'^ dxH.1 ' dydx^ 1.2 ~

dx^ 1.2.3

ou, en réduisant, dai s chaque colonne, au môme dénominateur,

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