n I dx dij
en entendant par celte notation qu'en développant la quantité entre parenthèses d'après la formule du binôme, les exposants qui devraient affeetcr df seront remplacés par l'indice n, de telle sorte qu'on aura d^f dans chaque terme.
î 1 . — On peut aussi étendre aux fonctions de deuxvariables la sériede Maclaurin Dans la relation (2), on changera d'abord xcn h et h enx, puis?/ en k et keny ; enlin l'on fera /i = Oel k= 0 ; on obtient ainsi :
dx'-Jo \(lxdiiJo \dif
les expressions
représentant ce que deviennent respectivement les quantités
dj- df (^ j^ ^ '^ '^^' dx' dif dx'' dxdif dif ""
quand on y fait à la fois a; = 0 et y = 0.
îa. — Il est entendu que la série de Taylor ne peut être étendue ainsi aux fonctions de deux variables qu'à la condition que la fonction proposée et toutes ses dérivées partielles restent finies clans les limites entre lesquelles on fait varier X et y.
La série de Maclaurin, étant un corollaire de celle de Taylor, est soumise aux mêmes restrictions.
64 PREMIERS LLÉMLMS DU CALCUL INFLMTESIMAL.
§ I. — EXkilVIPLES DE DÉVELOPPEMENTS DE FONCTIONS EN SÉRIES
93. — Développement de g^ et de g~'^. Les dérivées successives de e* sont toutes égales à e^ (52) ; et, pour x^O, elle se réduisent toutes à l'unité. En appliquant la formule de Maclaurin (69), on a donc
On a vu (65) que
tend vers zéro à mesure que n augmente ; d'ailleurs, e^^ reste fini ; donc, le reste tend vers zéro, et la série peut toujours être employée.
94. — Si l'on a à développer e~', on remarquera que les dérivées successives de celte fonction sont altern;itivement — e~* et +e"^ (52) ; et, pour^=0, elles se réduisent alternativement à — 1 et à + 1 • D ailleurs, la fonction proposée se réduit elle-même à + 1 ; on a donc dans ce cas
et l'on verrait comme ci-dessus que le reste tend vers zéro.
95. — Développement de sin x et de cas x. Les dérivées successives de sin x se reproduisent périodiquement dans l'ordre (52j.
H-cosa;, — sino;, — cosj;, -i-sina:, ...,
et, pour x=0, elles prennent périodiquement les valeurs
