etc
D'ailleurs, la fonction proposée elle-même se réduit à zt'ro. En apprujuant la formule de Maclauriu, on trouve donc
Or r-7r-= tend vers zéro, ctP (Ox) a pour valeur abso-
lue cos Ox, n étant supposé impair ; le reste tend donc vers
zéro.
î6. — Si l'on a à développer cos x, on remarque que ses dérivées successives se reproduisent périodiquement dans Tordre (52)
— sinx, — cosx, -f-sinx, H-cosx, ...., ce (}ui donne périodiquement pour x = 0 0,-1, 0, +1,....
D'ailleurs, la fonction pro[.osée se réduit elle-même à -+- 1. On a donc dans ce cas
il" x* jj"
si lo;! suppose n pair. Le reste tend Jonc encore vers zéro. îî. — Développement de log' (1 4-x) ^^ de lo(j' (1 — x) Soit d'abord
on trouvera successivement
f"{x)=-\.{[+xr\
et, pour x = 0,
f (O) = log'l = 0,
rm=-u r{0)=:+i.2,
La formule de Maclaurin donnera donc
log'(l +0^) = 0+ ;j-a;- ^ j;^+ j-^-^ a;-^- y-^;^ ^-^ + . . .
ou
(l)log'(l+^) = |-|-i-^+ ... dz|(l+Ox-)-"' Or, le reste peut s'écrire
et l'on voit qu'il tendra vers zéro si -, -— est égal à l'unité
ou plus petit que l'unité, ce qui exige que x soit égal ou inférieur à l'unité.
■îS. — Soit maintenant
f{x) = \og'{\-x)',
n trouvera
APPLICATIONS ÂiNALYTIQLES.
et ainsi de suite. Et pour x = 0,
On aura donc dans ce cas, en employant la seconde forme du reste (68),
los'd-a;)^-!-'^-^
Le reste peut s'écrire
1 — 0 \ 1 — Qx
La quanlilé entre crocliets étant plus petite que l'unité, puisque j; est supposé moindre que 1, et a;" pouvant devenir aussi petit que l'on voudra, on voit que le reste tend vers zéro à mesure que n augmente.
79. -- On déduit des deux formules précédentes (1) et (2) la formule qui sert à calculer les logarithmes. Si l'on suppose x<iU on peut les appliquer toutes deux, sans tenir compte des restes ; et, en retranchant ces formules membre à membre, on obtient
OiT
Un pose alors
fJS PREMIERS ÉLÉMENTS DL CALCUL INFINITÉSIMAL,
d'où
cl l'on a
(o) log '
Or, le premier membre revient à log' [n — 1) — log'n; c'est donc la différence tabulaire entre les logarithmes des nombres consécutifs n et )H- 1.
Ctla posé, on fera d'abord M=ldans la formule (3), qui donnera ainsi log' 2. On fera ensuite n='2 dans la même formule, qui donnera la différence entre log' 5 et log' 2, et par suitelog'5. Enfaisant successivement?i = 5, n= î-, n=b, ..., on obtiendra de même les logarithmes dcsno:iibres 4,5, 6, ...; et l'on pourra construire ainsi une table des logarithmes népériens. Mais il est clair qu'on n'emp'oie la formule (5) que pour les logarithmes des -nombres premiers ; les logarithmes
des autres nombres s'obtiennent en faisant la somme des loga-
rithmes de leurs facteurs.
La formule (5) est très convergente. Les huit premiers termes donnent log' 2, à moins d'un cent-millième. Quand on a atteint le nombrclOOO, le premier terme de la série devient suffisant.
Ayant construit une table des logarithmes népériens, il suffit de les multiplier tous par une même quantité pour obtenir les logarithmes des mêmes nombres dans un système quelconque. Si, par exemple, il s'agit des logarithmes vulgaires dont la base est 10, on a, en désignant par v le logarithme vulgaire d'un nombre et par u son logarithme népérien,
W=e\ d'où
vl(>g' 10 = î<
AI'PLICAIIONS ANALYTIQUES. C'J
et
^~log'.10"*
Le nombre constant par lequel il faut multiplier les logarithmes népériens pour obtenir des logarithmes vulgaires est donc dans ce cas
log'lU ou
2,5025851 ou enfin
Ce multiplicateur fixe porte le nom de module du système dont la base est 10.
80. — Di'veloppemejit de {a -h h)"^ pour m quelconque. Les nombres a et b étant généralement inégaux, soit a > &. On posera h^=^ax^ d'où (a-l-fc)'" = o"'(l +x)"' ; et la question est ramenée à développer {\-\-x)^,x étant moindre que l'unité.
Soit donc
f [x)= (1+x)™, d'où f (x) = m(l+j;)"'-',
f"{x)=m{m — \)i\+xY-\ f"'{x)=m{m — \) (m -2) (1 -\-xf-^.
On trouvera successivement
f (0) = 1, d'où
enfin
Par conséquent, la formule de Maclaurin donnera
I '^n m {m — 1) , (l+a;j"'= 1 -+- jX-{ Y"^ — '-X'
C'est, la for.nulc connue du binôme, étendue au cas de m quelconque, et complétée par le reste
Il faut montrer que ce reste tend vers zéro à mesure que n augmente. La remarque du n° 65 n'est plus applicable à ce cas, attendu (jue dans f" [x] le coefticicnt
croît indéfiniment en valeur absolue. Mais on peut prendre le tour de démonstration suivant. Regardons d'abord m comme positif.
Supposons que nous prenions un terme de plus dans le dé- Aeloppemcnt, et soit R„^i le nouveau reste, on aura
X, mim — \)...{m — u^\){m-u) , n,,^m-«-I
En comparant ces deux restes consécutifs, on reconnaît aisément que l'on a
Si l'on suppose qu'on ait poussé le développement assez loin pour que ?i soit plus grand que m, on aura, en valeur
absolue,
n H- 1 ■ l -f- i)x ' d'où, en remarquant que n — ?» est moindre que n -t- 1,
