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et il foi l il) ri

R„^i<ri,.x.

,, l\n+p représentent de même les restes successifs ([u'on obliendrait en prenant 2, 5,...^; termes de plus, on trouverait de rncme

d'où, en multipliant toutes ces inégalités membre à membre, et simplifiant,

Or, X étant moindre que 1 par hypothèse, on peut toujours prendre p assez grand pour que x'' soit moindre que toute quantité donnée. D'ailleurs R^ est une quantité déterminée et fixe; donc enfin R„j.p peut être rendu lui-même plus petit que toute quantilé assii^nable.

Si m est négatif mais moindre que I, la fraction

qu'on peut alors écrire, en mettant le signe de m en évidence,

n -hm • , , ■ ,

— — j- , est encore une quantité plus petite que 1 umte; amsi

le raisonnement qui précède subsiste.

Si m est ncgalif et plus grand que 1 , on peut toujours

prendre n assez grand pour que le multiplicateur de I^,j, c'est-

11 I tu X ,

à-dire r • : :— » soit plus petit qu'une fraction détermi-

?H-1 1+Ox' ' ' '

née fc, comprise entre x et l'unilc. Car ce mulliplicaleur est

mouidre que r-^'^ et si 1 on salisiait a 1 inégalité

' îi 4- 1 °

on satisfera à fortiori à riiicgalilc n-^m X

^'^ n^ri + ox^'^-

Or la relation (1) donne

nx + mx <C /'"» H- 1-

Si mx est moindre que /i, celte inégalité estsatisfaite, quel (pie soit n, puisque x est moindre que k. Si mx est supérieur à fr, on tire de cette relation

^ mx — k

">T--rr'

inégalité à laquelle il est toujours possible de satisfaire. Dès lors on aura

et l'on en déduira comme plus haut

et, comme k est moindre que 1, on pourra toujours prendre p assez grand pour que R„p soit aussi petit que l'on voudra, donc le reste tend vers zéro, puisfjue k'' peut devenir aussi petit que l'on voudra.

Soit, en second lieu, à développer {a — ?>)'"; on posera

APPLICATIONS ANALYTIQLLS. 73

comme plus haut b=(ix; et la question sera ramenée a développer (1 — x)"'. En opérant comme ci-dessus, on trouvera

C*est encore la formule du binôme, complétée par le reste R,. Si l'on adopte la seconde forme du reste (68), on a

L 'après la loi de formation de ce reste, on trouve aisément j. p m — Il / 1 — 6

n ' \\ — fuy ' ou, en valeur absolue, dès c[ue n est plus grand que m, 71— m /l — 0\

o- ■■Cl • . " "î r • -1

01 m est positii, la quantité est une traction; il en

est de même d'ailleurs de la quantité entre crochets ; on a

donc

et l'on en déduira comme plus haut,

l'n+p*^ lin .^ î

d'où il résulte que le reste tend vers zéro, puisque, x étant une fraction, x'' peut être rendu aussi petit qu'on voudra. Si ?» est négatif, le multiplicateur de R„ devient

1— ej;/'

on a donc

Or, si k est une fraction comprise entre x et l'unité, et qu'on pose

u-h-m ^ , . mx ..j;<.«, ou eti tire n'^

relation à laquelle ou peut toujours satisfaire. On peut don^ écrire

d'oi'i, comme ci-dessus,

Donc le reste tend vers zéro, puisque k^ peut devenir aussi petit que l'on voudra.

§ 2. —VERITABLE VALEUR DES EXPRESSIONS QUI PRENNENT LUNE DES FORIVIES ^, ^, 0 X oo