Soit ^^^ une expression fractionnaire, dont les deux

termes s'annulent pour une valeur particulière a de la variable X ; on aura

ç(«) = 0,';(fl) = 0;

et Texprcssion se présentera sous la forme ^. Pour en trouver la vraie valeur, on commence par remplacer d'abord x par fl-h/t, Il étant une quantité que l'on fera ensuite tendre vers zéro; le résulat définitif sera le même que si l'on eût fait immédiatement x=a\ mais la forme indéterminée aura disparu. On aura, en effet,

ou

Suppiimant ç; («) ot 6 («), qui sont nuls par liypotlièse, cl divisant les deux termes de rexprcssiou par /(, on obtient

Faisant tendre maintenant h vers zéro, il ne reste que le premier terme de chaque développement, et il vient en définitive

c'est-à-dire que lorsqu'une expression fraclionnaire prend lu furme ^ pour une valeur particulière a de la variable, il suffit, pour obtenir la vraie valeur de cette expression, de remplacer chacun des deux termes par sa dérivée, et de faire ensuite X =a.

Ce qui précède suppose uniquement qu'on puisse appliquer à chacun des deux termes la formule de Taylor (64), c'est-àdire que les fonctions o [x) et ^b [x) soient continues depuis la v;ilcur x=^a jusqu'à une valeur très-voisine x = a -h h .

Si les dérivées 9' (jc) elù' [x) s'annulaient toutes deux pour

x=a, il faudrait appliquer la règle précédente à l'cxpres-

sion ^, ; , c'est-à-dire remplacer chacun des deux termes

par sa dérivée, et faire ensuite x:=^a, ce qui donnerait — — . On continuerait cfénéralcment ainsi à remplacer les

76 PREMIERS ËLÊMLNTS DU CALCUL INFLMTLSIMAL.

deux termes de l'expression obtenue par leurs dérivées, jusqu'à ce qu'on obtienne deux termes qui ne s'annulent pas à la fois.

Exemple. L'expression — prend la forme | quand

on y fait x = 0. Remplaçons les deux termes par leurs déri-

^ cos X

vées, nous aurons — : ^^ — . Les deux termes de cette se-

Slll X

conde expression s'annulent encore pour a; = 0; remplaçonsles par leurs dérivées, nous obtiendrons , expression

qui, pour x^O, se réduit à t , c'est-à-diie à zéro. Telle est donc la vraie valeur de l'expression proposée.