MAXIMA ET MINIIHA DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE

84. — Une (onction f (x) est croissante on décroissante à partir d'une valeur déterminée de x selon que sa dérivée est positive ou néijative. On a, en effet, par la formule de Taylor, bornée au premier terme (64),

f{x^h)=f{x)-^-hf'{x-^fih);

par conséquent, j[x -f h) sera plus grand que f{x), si f [x) conserve une valeur positive de a; ta a; H- /i; et dans ce cas, la

APPLICATIONS ANALYTIOLIvS, 7'J

fonction f{x) sera croissante. Au contraire, f(x-hli) sera moindre que f{x) si /' [x) est négatifdc x à x + // ; et dans ce cas, la fonction f{x) sera décroissante.

85. — 11 peut arriver ({u'unc fonclion /'(x) soit croissante (le j; = rt — h à x = a, f)uis décroissante dex^=-rt à x:=rt H- /«, /} étant une quantité très-petite. On dit alors que f{a) est un maximum.

Il peut arriver, au contraire, que la fonction soit décroissante de x^a — h à x = a , puis croissante de x = a à x = a-{-h. On dit alors que f{a) est un mviimum.

Dans le premier cas, f {x) passe du positif au négatif qu^nd X atteint la valeur «; dans le second cas, /' {x) passe, au contraire, du négatif au positif. — La fonclion /' {x) ne peut ainsi changer de signe sans passer par 0 ou par oc. La condition nécessaire pour que x=.a corresponde à un maximum ou à un minimum de f{x) est donc que, pour j; = û, la dérivée f [x) devienne nulle ou inlinie. Nous examinerons successivement ces deux cas.

8«. — Supposons d'abord que la fonction /'(x) et toutes ses dérivées restent finies dex=a — /(à x = a-hh. Rempl.i(;ons X )ar ces deux valeurs, développons f{a — h et f[u-^-h} par la formule de Taylor ; en faisant passer f{a) dans le piemier membre, nous obtiendrons

Pour que /"(a) soit un maximum ou un minimum, il faut(iue les deux différences /"(a — h) — f{a) et /'(«-+-/[) — /'(«) soient

de même signe. Or on démontre en algèbre (voy. V Appendice) que lorsqu'un polynôme est ordonné par rapport aux puissances croissantes d'une variable /i, on peut toujours prendre cette variable assez petite pour que le premier terme du polynôme donne son signe à tout le développement. Pour que les seconds membres des relations (1) et (2) soient de même signe, il faut donc que les termes — f'{a) ./ict + /"' [a] /t., qui sont de signe contraire, disparaissent; ce qui exige qu'on ait

Les valeurs de x qui rendent /"(a;) maximum ou minimum sont donc comprises parmi les racines de l'équation (5).

Supposons cette condition remplie ; les seconds membre des deux relations (1) et (2) auront le même premier terme

f" {a) -r~c)'> ^^^ seront donc de même signe ; et ce signe sera

celui de /""(«), puisque h^ est posilif. Si f" [a) est po^^ilif, il eu sera de même des premiers membres de (1) et (2) ; on aura donc à la fois

f{a)<:f{a-h) et f {a)< f {a -h h) ;

ainsi f{a) sera un minimum, Sï f" {a) est négatif, il en sera de même des premiers membres de (1) et (2) ; on aura donc à la fois

f{a)>f{a-h) et f{a)>f{a^h);

ainsi /"(a) seraun maximum. Lavaleurx^a, qui annule/"' {x), correspondra donc à un minimum ou à un maximum, suivant que /""(a) sera posilif ou négatif.

8î. — Mais il pourrait arriver que /""(o) fût nul. Les seconds membres des relations (1) et (2), ayant alors pour premier

terme l'une — f" (x) , ^ ^ et l'autre H- f" (x) . ^^, qui sont

de signe contraire, les premiers membres seraient de signe contraire, et il n'y aurait ni max mum ni minimum. Pour

qu'il y ;iit l'un ou l'autre, il faut donc que ces termes disparaissent, ce qui exige qu'on ait f" {a)=0. Et dans ce cas les premiers membres des relations (I) et (2) seront tous deux positifs ou tous deux négatifs, c'est-à-dire qu'on aura un minimum ou un maximum, suivant que f" (a) sera positif ou négatif.

On pourrait supposer aussi p" {a)^0 et passer aux dérivées suivantes; on verrait ainsi que, pour qu'il 1/ ait minimum ou maximum, il faut que la première dérivée qui ne s'annule pas pour x=a soil d'ordre pair; et que, dans ce cas, on aura un min'imum ou un maximum selon que cette dérivée sera positive ou négative pour x = a.

On voit donc quelle est la marche à suivre pour trouver les maxima et minima d'une fonction d'une variable : égaler sa jiremière dérivée à zéro; tirer les racines de l'équation ainsi posée ; substituer chacune de ces racii es dans les dérivées successives de la fonction ; si la première dérivée qui ne s'annule pas par cette suhstilution est d'ordre impair, il n'y a ni maximum ni minimum ; si elle est d'ordre pair, on a un minimum ou un maximum selon qu'elle prend le signe -|- ou le signe — .