Exe'uples. I. Soit
f[x)^x'^ — Ax^-hbx^ — Ax^- + x.
On aura d'abord
/'' [x)^ hx' — 16a;^-4-18x^ — 8xH-l, /•" [xj = 20 X' — ASx'^oQx —S f"'{xi= 60x' — 96x -i-5G, f"'{x) = {'20x —96, f (x) = \<20.
L'équation /'(x):^0 a une racine simplex = ^ et une racine
tiipleic=l. Si l'on substitue x = i; dans la seconde dérivée, elle
preml la valeur — 2,6 ; il en résulte que X:^ ^ correspond à 1
un maximum. ]
La racine x^i annule les dérivées f" (x*), f" {x) et donne /'''■(j;) = + 24 ; il en résulte que i(; = 'l correspond à un minimum.
89. — II. Partager le nombre a en deux parties telles que le produit de la puissance p de la première par la puissance q de la seconde soit un maximum (p et q étant deux nombres entiers).
On aura ici f{x):=x'' {a — j;)', en désignant parrr la première partie. En égalant à zéro la dérivée de cette fonction, on trouve
px^'(a — xY — qx''{a—xY-' = 0 ou
xP~'{a — xy-\ [p {a — x)—qx]=:0.
Cette équation admet trois racines :
x=0, x = a et x^—^ — a.
Les deux premières ne répondent pas à la question; il faut donc considérer la troisième.
On trouve
f"{x)=[p{a-x)-qx].'-''' '[^~^^' -{p-^q)xP-^{a-xY-\
Si l'on met pour x la valeur — - — .a, le premier terme disparaît, et le second prend une valeur négative; la valeur substituée correspond donc à un maximum.
APPLlCATIOxNS ANALYTIQUES. 85
De
x=—- — .a, on déduit a — x = — ^— P + (I F H- q
d'où
c'est-à-dire que les deux parties du nombre a doivent êlre proportionnelles aux exposants ]) et q. Quant au maximum cherché, il a pour valeur
pP . a''
{p + qY
90. — III. Inscrire (lins une ellipse un rectamjle dont la surface soit un maximum. — Les médianes du rectangle inscrit partageant chacune en deux |)arties égales deux cordes parallèles à l'autre, forment un système de diamètres con- |ugués rectangulaire; ce sont donc les axes de la courbe. Si X cl D sont les coordonnées de l'un des sommets du rectangle, rapportées à ces axes, la surface du rectangle est exprimée l)ar 4a;j/, ou, en mettant pour y sa valeur,
