x\ aa
La fonction à rendre maximum est doncaîyrt' — x- , ou, ce qui revient au même, ya^x^ — x'\ On peut donc poser-
f[x) = a'x'-—x\ La dérivée égalée à zéro conduit à l'équation
ou
84 rr.EMIEKS ÉLÉMENTS DU CALCUL LNFINITÉSLMAL.
Celle équation a trois racines:
x = 0, et x^±—-.
La première ne répond pas à la question. Si l'on substitue l'un des deux autres dans la seconde dérivée
on obtient — 4fl', quantité négative. Les valeurs
correspondent doncà un maximum. Elles ne forment d'ailleurs
([u'unc seule et même solution, attendu que si a; et y sont les
coordonnées d'un des sommets du rectangle, — x et — y sont
les coordonnées du sommet opposé.
De
X=—^ on déduit w=-7^,
d'oi*!
On obtient donc un des sommets du rectangle demandé en cherchant l'intersection de l'ellipse avec la droite
qui n'est autre que la diagonale du rectangle construit surles deux demi-axes.
Si l'ellipse devient un cercle, le rectangle inscrit maximum devient un carré.
oi. — IV. Élanl donné le volume d'un ajlindve, déter-
APPLICATIONS ANALVTinUES. 85
juiner ses dimensions de manière que sa surface soit un wi)}imum. On a à résoudre ce problème toutes les fois que l'on veut construire un vase cylindrique d'une capacité donnée cl employer le moins de matière pos:ible. Mais il faut distinguer deux cas.
Le vase peut être ouvert à la partie supérieure. Soit alors y sa hauteur et x le rayon de sa base; si V est la capacité donnée, on aura
nousreprcsenlerons V par-a^ pour la commodité de l'écriture. Nous aurons ainsi
La surface du cylindre sera exprimée par
