x- + Izxy
ou, en mettant pour y sa valeur tirée de la relation (1),
2ra'^ zx^ H —
La quantité à rendre minimum est donc
En égalant en zéro sa dérivée, on forme l'équation
2a; — ^^^0, d où l'on tire X''=a% ou x^^a. x'
l'ar suite Féqualion (I) donne aus?i y = a. C'est-à-diic qu'on obtient le minimum de surface en faisant le rayon de la base éijal à la hauteur. Ce minimum de surface est
T.a- + ^T.a- ou ôTM^y
86 PREMIERS ÉLÉMENTS DU CALCLL I^FLMTÉS1MAL.
ou, en remarquant que a=i /-,
— , ou enfin, 3 ^/ttY^.
C'est bien un minimum, car on a f" {x)^'2 H , quan-
tité positive pour x = a.
Le vase peut être fermé à la partie supérieure. En conservant les mêmes nolations, la relation (1) subsiste encore mais la surface est exprimée par
2t:X* + Ir.XlJ, ou 2zX^- -\ ^ ,
OC
et la quantité à rendre minimum est alors
La dérivée égilée à zéro doime Téqualion
2x -., d ou x'=-^ ;
si l'on mot dans (1) Ix'^ à la place de a', on obtient y = '2x. C'est-à-dire que dans ce cas on obtient le minimum de surface en faisant la hauteur égale au diamètre de la base. Le minimum a pour valeur
2r.X- -\--At.X^, ou Qt.X-, ou
-^-^ , ou encore b \ / — 7v4 V 4
On reconnaîtrait comme ci-dessus que c'est bien un minimum.
APPLICATIONS ANALYTIQL'LS. 87
9Z. — Nous avons dit (jiic f [x] peut changer do signe en passant par la valeur zéro ou par la valeur infinie; nous avons examiné le premier cas; il nous reste à parler du second.
Concevons donc que pour x = (t, f (x) devienne inllni, la fonction f{x) restant d'ailleurs finie. Si, de j; = a — /i à X"^«, /"' (x) est |>ositif, et qu'il devienne négntif de x = a À x = a -\-h, f{(i) sera un maximum; car la fonction f (x) croîtra de a — h à a, et décmilra de a à o -f- h.
Si, de x=a — h à x = a, f {x) est négatif, et qu'il devienne positif de a;=fl à x=a-hh, f{a) sera un minimum; car f{x) décroîtra de a — h à o, et croîtra de a à a -\- h.
Soit, par exemple, la fonction
f{x) = {-^lx\ on trouve
SJX
Poura;:^0, celle dérivée devient infinie. D'ailleurs elle est négative ou positive en même temps que x : de x=: — h à a;=+/i elle passe donc du négatif au positif; donc f (0) ou i est un minimum.
C'e.-t surtout dans la disciiS;ion des courhes que l'on rencontre des exemples de maxima ou de minima donnés par f ia) = '^.
§ 4. — MAXIIVIA ET MINIMA DES FONCTIONS DE DEUX VARiABLES.
93. — On dit qu'une fonction f {x, y) de deux variables indépendantes csl moximum pour x = a qI y = b, lorsque la quantité f (fl + /i, b -f- /.) est moindre que /' (o, &), les quantités h et /r étant des accroissements positifs ou négatifs auss petits que l'on voudra. On dit que la fonction f (i', y) est m -
88 PREMIERS ELEMEiNTS DU CALCUL INFINITÉSIMAL
nimum pour x = a, y =^ b, lorsque, pour les mêmes accroissements h et k, la quantité f[a -^ h, b-\-k} est plus grande que f{a,b).
Posons k = zh, £ étant le rapport algébrique, d'ailleurs arbitraire , que Ton établit entre k et h. Développons f{x + /t, y-i- c/i) par la formule de Taylor (70); nous aurons, en passant f{x, y) dans le premier membre,
