dx^ ' (Ix (ly ' dy

rclation dans laquelle nous supposerons que x et y aient les valeurs a et b.

Pour que la dilférence f{x-\- h, y -hk) — f{x, y) conserve son signe, quels que soient les signes des accroissemenis h et k, il faut que le second membre de (l) conserve son signe, quel que soit le signe de h. Or, ce développement étant ordonné par rapport aux puissances croissantes de /i, on peut toujours supposer h assez petit pour que le premier terme donne son signe à tout le développement; il faut donc que le terme affecté de la première puissance de h disparaisse et qu'un ait

dx dy

Mais cette condition doit être remplie quel que soit le rapport e; il faut donc que l'on ait séparément

ce sont les conditions communes au maximum et au minimum. Les valeurs x=a et y=b devront satisfaire à ces deux équations ; elles seront donc comprises parmi les systèmes de valeurs qu'admettent ces deux équations.

91. — Supposons les conditions (2) remplies; le système x=:a. y = b pourra répondre à un maximum ou à nn minimum. Pour que ce soit un maximum, il faut que la dillérence qui forme le premier mem!)re de la relation (1) soit négative; or, le second membre commence alors par l'j terme en h- qui donnera son signe à tout le développement si h est suffisamment petit; il faut donc que ce terme en /r soit négatir, et qu'on ait par conséquent, quel que soit s,

^ ' dx'^ dxdy ' dif^

quand on mettra pour x et pour y les valeurs a et b donnres par les équations (2). Soient A, B, C les valeurs que prennent dans ce cas les quantités

dx- ' dx dy ' dy^ On devra avoir, quel que soit s,

(4) A + 2Be+C£'-<0.

D'après les propriétés des trinômes du second degré, cette condition exige qu'on ait à la fois

(5) C<0, et B^ — AC<0;

la seconde relation est nécessaire pour que le trinôme conserve son signe, quelque soit £, et la première est nécessaire pour que ce signe soit négatif. Si les relations (5) sont salisfuites, le systèmeoj^tt, y=b correspondri à un maximum. On verrait de la même manière que, pour que ce système corresponde à un minimum, il faut et il suffit que l'on ait à la l'ois

(6) C>0, avec B* — AC<0,