Exemple. Soit proposé d'inscrire dans une sphère
90 PRKIIIERS ÉLÉMENTS DU CALCUL INFLMTÉSIMAL.
de ravon II un parallélépipède rectangle dont le volume soit un maximum. Rapportons la sphère à trois axes parallèles aux arêtes du parallélépipède ; et soient a^, y, z les coordonnées de l'un des sommets. Le volume du parallélépipède aura pour valeur Sxijz, ou, en remarquant que
j;- H- î/ + 2- = ri%
Sxu yR^ — x^ — y% ou encore 8 \ x-if (l{-—x- — y i*. La fonction à rendre maximum est donc
/■ (x-, î/) = ^'xHf — x'if — xhf.
On en tire successivement
'j- = '2 1» '^if- — ^^Y — 2^y* ; X- = '2 ï^ '^'y — 2a;*y — 4x*y^ ;
% = 2R^y=- 1 ^.xY- '2if ; ^ = 4R^xy - ^xhj - Sxif ;
dif -^
Si l'on égale à zéro les dérivées partielles y- et y-, en supprimant dans la première le facteur 2j;y-, et dans la seconde le facteur 2j:^y, qui donneraient des solutions étrangères à la question que l'on a en vue, on obtient les deux équations
R^ — 2x* — y^ = 0, et R* — x*— 2y'=:0,
qui donnent
VO
en ne prenant que la solution positive. Si l'on substitue ces valeurs dans les dérivées partielles du second ordre, on trouve après réduction
Le coefficient G est donc ncgnlif; on trouve d'ailleurs
